Дифференцируемость функции нескольких переменных
Лабораторная работа №4
Функции нескольких переменных
1. Цель работы: исследование функций нескольких переменныхв программе MathCad
2. Указания к выполнению лабораторной работы:
Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня
Определение 1.Если каждой точке из множества точек евклидова пространства по известному закону ставится в соответствие некоторое число , то говорят, что на множестве задана функция переменных , обозначение .
Множество называется областью определенияфункции и обозначается . Множество значений функции называется множеством значенийфункции и обозначается . Значение называется частным значением функции.
Очевидно, что
1) – функция однойпеременной ;
2) – функция двух переменных и ;
3) – функция переменных .
П р и м е р ы. 1. – линейное уравнение называется уравнением плоскости с нормальным вектором , где числа , , .
2.Для функции
– круг ,
.
Пусть мы имеем поверхность . Если координаты любой точки удовлетворяют некоторому уравнению , то поверхность будет называться графиком функции .
Функция трёх, четырёх и т.д. переменных не имеют геометрического изображения в трёхмерном пространстве.
В примере 1 графиком функции является плоскость, в примере 2 – полусферарадиусом 2 с центром в начале координат.
Линией уровня функции двух переменных называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию , где - константа.
Задание 1. С помощью линий уровня исследовать поведение функции и построить ее график.
Решение. Задаем функцию и стоим графики линий уровня.
Вывод: при линии уровня – это пара пересекающихся прямых, при линии уровня – гиперболы. Строим график самой функции и находим эти линии уровня на графике самой функции.
Рис.1 – Решение задания 1
Дифференцируемость функции нескольких переменных
Пусть функция определена на некотором открытом множестве .
Определение 2.Частным приращением в точке по переменной называется
.
Определение 3.Частной производной по функции в точке называется
, если он существует.
Функция при изменении только одной переменной становится функцией одной переменной . Частная производная обозначается так:
, , , .
П р и м е р ы. 3. . Частные производные и .
4. .Частные производные и
.
Определение 4.Выражение
(1)
называется полным приращением функции в любой фиксированной точке .
Если функция имеет непрерывные частные производные в точке , то выражение (1) можно записать как
. (2)
Линейная часть полного приращения функции относительно и в равенстве (2) называется главной частью полного приращения .
Определение 5.Полным дифференциалом функции в точке называется главная часть полного приращения и обозначается .
Таким образом,
.
Приращения и независимых переменных и называются дифференциалами и обозначается символами и : , .
Тогда формула полного дифференциала примет вид:
.
З а м е ч а н и е 1. Для функции трех переменных полный дифференциал можно найти по формуле .
Определение 6. Функция называется дифференцируемой в области , если для любой точки полное приращение находится по формуле
,
где и – бесконечно малые функции вместе с и .
Теорема 1. Для того чтобы была дифференцируема в области , необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна вместе со своими частными производными и в области .
Если и – дифференцируемы в некоторой области , то функции и имеют частные производные, которые назовём частными производными второго порядка (вторыми частными производными) функции .
Введём обозначения:
, , , или соответственно , , , .
П р и м е р 5. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. , , , , ,
.
Аналогично можно ввести частные производные третьего, четвёртого, …, -ого порядков.
Определение 7. Функция , имеющая непрерывные частные производные до -ого порядка включительно в области , называется раз непрерывно дифференцируемой в области .
Теорема 2. Если функция раз непрерывно дифференцируема в области , то смешанные частные производные -ого порядка не зависят от порядка дифференцирования.
Определение 8.Полным дифференциалом второго порядка (вторым полным дифференциалом) называется полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка:
.
Найдём .
.
З а м е ч а н и е 2. Для функции трех переменных полный дифференциал второго порядка
.
Аналогично можно найти полные дифференциалы , , …, , используя определение: .
Задание 2. Для функции найти полные дифференциалы первого и второго порядка в точке .
Решение. Находим частные производные функции первого порядка и подставляем их в формулу для полного дифференциала первого порядка.
Вычисляем частные производные второго порядка и полный дифференциал.
Рис.2 – Решение задания 2