Вопрос 20.2. Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений

Определение 20.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

,

которое содержит независимое переменное x, неизвестную функцию y(x), и ее производные вплоть до n-го порядка включительно.

Дифференциальное уравнение разрешено относительно производной n-го порядка , если его можно представить в виде

.

Определение 20.2. Решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка называется всякая функция y(x), которая обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Определение 20.3. Множество решений обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка вида

,

где ‑ произвольные постоянные, называется общим решением.

Каждый выбор этих постоянных дает частное решение. График частного решения называется интегральной кривой, а множество всех интегральных кривых называется семейством интегральных кривых.

Часто обыкновенное дифференциальное уравнение n‑го порядка можно свести к уравнению вида

,

где ‑ произвольные постоянные.

Оно называется общим интегралом. Каждый выбор этих постоянных дает частный интеграл .

Определение 20.4. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка и требуется найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям

,

тогда говорят, что задана задача Коши:

,

.

Для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка сформулируем теорему существования и единственности решения задачи Коши:

Теорема 20.1. Пусть функция непрерывна в замкнутой области D переменных , содержащей точку , тогда, если частная производная этой функции по y непрерывна на этом множестве, то задача Коши на некотором отрезке имеет решение и это решение единственное.

Пример 20.1. Задача Коши

имеет единственное решение , так как в любой замкнутой области, содержащей точку (0,1) функция и ее частная производная по y

непрерывны.

Пример 20.2. Задача Коши

.

имеет два решения и . Правая часть уравнения непрерывна в любой окрестности точки (0,0), но производная по y

терпит разрыв в точке (0,0). Поэтому условия применимости теоремы 1 нарушены. Возможность существования нескольких решений задачи Коши определяется теоремой Пеано.

Теорема 20.2. (Пеано) Если непрерывна на замкнутой области D переменных x, y, то при условии, что точка принадлежит этой области, задача Коши имеет хотя бы одно решение в некоторой окрестности точки .

ЛЕКЦИЯ № 21. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ