Образец индивидуального задания

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

(линейные образы)

Задача 1

а) Найти параметрические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно вектору .

б) При каком значении параметра t точка принадлежит этой прямой?

в) Принадлежит ли точка этой прямой?

г) Построить данную прямую.

Задача 2

а) Составить параметрические уравнения прямой , проходящей через точки и .

б) Используя параметр, найти координаты точек C и D, делящих отрезок на три равные части.

Задача 3

Построить плоскости и указать особенности их расположения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задача 4

а) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .

б) Принадлежит ли этой плоскости точка ?

Задача 5

Cоставить уравнение плоскости , проходящей через три точки , и .

Задача 6

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и прямую .

Задача 7

Составить уравнение плоскости , проходящей через две параллельные прямые и .

Задача 8

Составить уравнение плоскости , проходящей через точки и параллельно вектору .

Задача 9

Составить уравнение плоскости , проходящей через две точки и перпендикулярно плоскости .

Задача 10

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Задача 11

При каком значении параметра a плоскости и будут перпендикулярны?

Задача 12

При каких значениях параметров a и b плоскости и будут параллельны?

Задача 13

Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задача 14

Найти угол между прямой и плоскостью .

Задача 15

Найти проекцию точки на плоскость .

Задача 16

Найти проекцию точки на прямую .

Задача 17

Дана прямая . Найти угловой коэффициент этой прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат. Построить эту прямую.

Задача 18

Дана прямая и точка . Составить уравнение:

а) прямой ,проходящей через точку A параллельно прямой ;

б) прямой , проходящей через точку A перпендикулярно прямой .

Задача 19

Даны вершины , и треугольника ABC. Составить:

а) уравнение стороны BC;

б) уравнение высоты AH;

в) уравнение медианы AD.

Задача 20

Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Решение задачи 1

а) В данной задаче известны направляющий вектор прямой и точка . Используя материал раздела «Параметрические уравнения прямой в » (см., в частности, формулу (42) из лекции 10), получаем:

.

б) Подставляя в полученные параметрические уравнения прямой вместо , и соответствующие координаты точки B, имеем:

.

Таким образом, на прямой точке B отвечает параметр .

в) Подставим теперь в уравнения прямой вместо , и координаты точки C:

.

Таким образом, не существует единого числа t, при котором координаты точки C удовлетворяли бы всем уравнениям прямой . Следовательно, точка C не принадлежит прямой .

г) Для того, чтобы построить данную прямую , достаточно построить какие-нибудь две точки, принадлежащие этой прямой (в нашем случае, например, точки и ) и затем соединить эти две точки при помощи линейки отрезком прямой:

Решение задачи 2

а)Решение этой задачи повторяет решение примера 21 из лекции 10.

Направляющий вектор прямой можно вычислить следующим образом: .

б)Сначало проведем одно общее рассуждение. Пусть — точка на прямой (заданной уравнениями (42) из лекции 10), соответствующая значению параметра, а соответствует значению . Вычислим расстояние между этими точками. Имеем:

.

Таким образом, расстояние между двумя точками на пропорционально разности соответствующих значений параметра.

Вернемся теперь к нашей конкретной прямой. Ясно, что точке соответствует значение параметра , а точке — , причем . Поэтому для точки :

,

а для точки :

.

Решение задачи 3

а) Построим плоскость в отрезках на осях (это всегда можно сделать, если уравнение плоскости полное, то есть в нем присутствуют все три переменные и свободный член). Построение проводится так же, как и построение плоскости в примере 31 из лекции 12. Найдем точки пересечения , и данной плоскости с координатными осями , и :

,

,

.

Соединив найденные точки отрезками, получим треугольник , принадлежащий искомой плоскости:

б) Построим плоскость (см. также построение плоскости в примере 31 из лекции 12):

,

,

.

Полученное в последнем случае противоречие говорит о том, что наша плоскость не пересекается с осью , то есть параллельна ей. Проведя из точек и вверх равные отрезки и , параллельные оси , а затем соединяя точки и , получаем прямоугольник , принадлежащий искомой плоскости:

в) Построим плоскость (см. также построение плоскости в примере 31 из лекции 12):

,

,

.

Полученные в первых двух случаях противоречия говорят о том, что наша плоскость не пересекается с осями и , то есть параллельна им. Проведя из точки отрезки и , параллельные осям и , а затем, соединяя точки и , получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:

г) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат и не имеет других точек пересечения с осями координат. Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:

,

.

Соединяя точки , и отрезками прямой, получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:

д) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат . Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:

,

.

Соединяя точки , и отрезками прямой, получаем треугольник , принадлежащий искомой плоскости:

Ясно, что построенная плоскость содержит ось .

Решение задачи 4

а)

Решение данной задачи изложено в разделе «Построение плоскости по точке и нормальному вектору» в лекции 10. Применяя формулу (44) из той же лекции, получаем:

.

б)Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли точка плоскости , нужно координаты этой точки подставить в полученное в предыдущем пункте уравнение этой плоскости:

Следовательно, точка B не принадлежит плоскости .

B

Решение задачи 5

Введем текущую точку плоскости и вычислим векторы , и , принадлежащие данной плоскости:

Ясно, что эти векторы линейно зависимы, следовательно .

Раскрывая определитель и упрощая, получаем общее уравнение плоскости :

.

Заметим, что данную задачу можно решить, используя формулу (45) раздела «Уравнение плоскости по точке и двум векторам» (см. лекцию 10). Проделайте это самостоятельно!

Решение задачи 6

Анализируя параметрические уравнения заданной прямой , приходим к выводу, что эта прямая проходит через точку с координатами , которую мы обозначим через , и имеет направляющий вектор , который мы обозначим через . Поместим начало этого вектора в точку . Рассмотрим также вектор :

Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):

.

Решение задачи 7

Эта задача решается также, как пункт 3) примера 23 из лекции 10.

Из параметрических уравнений параллельных прямых и получаем:

1) точку ;

2) точку ;

3) общий направляющий вектор этих прямых.

Пусть :

Запишем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):

.

Решение задачи 8

Рассмотрим точку , а также векторы и . Так же, как и в предыдущей задаче, записываем уравнение плоскости по точке и двум векторам и (см. формулу (45) из лекции 10):

.

Решение задачи 9

Из теоремы 19 (см. лекцию 11) вытекает, что — нормальный вектор плоскости :

Ясно, что вектор принадлежит плоскости . Рассмотрев точку , а также векторы и , получим, как и в предыдущих задачах, искомое уравнение плоскости :

.

Решение задачи 10

Ясно, что нормальный вектор плоскости является одновременно нормальным вектором искомой плоскости , то есть по теореме 19 (см. лекцию 11) . Используя уравнение плоскости по точке и нормальному вектору (см. формулу (44) из лекции 10), имеем:

.

Чертеж к решению данной задачи рекомендуется построить самостоятельно.

Решение задачи 11

Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а — нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные векторы. Итак:

.

Решение задачи 12

Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а — нормальный вектор плоскости . Ясно, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы. Итак:

.

Решение задачи 13

Перед решением этой задачи рекомендуется изучить теорему 20 и ее доказательство (см. лекцию 11).

Для нахождения общей точки прямой и плоскости нужно решить систему уравнений, составленную из параметрических уравнений прямой и уравнения плоскости :

.

Таким образом, точка есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

Решение задачи 14

Рассмотрим векторы (направляющий вектор прямой ) и (нормальный вектор плоскости ):

Ясно, что — угол между и . Так как , где — угол между векторами и , то

.

Следовательно, .

Решение задачи 15

Найдем точку , являющуюся проекцией точки на плоскость .

1) Запишем уравнение прямой , проходящей через точку A перпендикулярно плоскости . Так как в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , который в силу теоремы 19 из лекции 11 равен

, то параметрические уравнения имеют вид: .

2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Так же, как и в доказательстве теоремы 20 из лекции 11, решим систему уравнений:

.

Таким образом, То есть, — проекция точки на плоскость .

Решение задачи 16

Найдем проекцию точки на прямую .

1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через точку A перпендикулярно прямой . Так как в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , который равен , то (см. формулу (44) из лекции 10).

2) Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Решим систему уравнений:

.

Получаем: То есть точка — проекция точки на прямую .

Решение задачи 17

До решения этой задачи рекомендуется изучить раздел «Уравнения прямой в » из лекции 12.

Угловой коэффициент прямой в находится разрешением уравнения этой прямой относительно зависимой переменной :

.

Угловой коэффициент — это полученный коэффициент при , то есть . Отрезок, отсекаемый прямой на оси , получаем, подставив в наше уравнение . Получаем , то есть .

Построим прямую по двум принадлежащим ей точкам. Одну точку мы уже нашли — это точка . Вторую точку лучше всего находить, подставив в уравнение . Получаем и точку . Точки и находятся на координатных осях, поэтому данное построение называется построением прямой в отрезках на осях:

Решение задачи 18

Начнем с нахождения углового коэффициента прямой . Он уже найден в предыдущей задаче: .

а)Так как , а угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси , то угловые коэффициенты этих прямых совпадают. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой . Воспользуемся формулой (47) из лекции 12, то есть уравнением прямой в , проходящей через точку с угловым коэффициентом :

.

б)Пусть — угловой коэффициент прямой . Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых в (см. формулу (52) из лекции 12):

.

Опять применяем формулу (47):

.

Решение задачи 19

а) Для нахождения уравнения стороны BC применим формулу (50) из лекции 12 (уравнение прямой в , проходящей через две точки):

.

Из полученного уравнения находим угловой коэффициент прямой BC: . б) Пользуясь условием ортогональности (52) из лекции 12, найдем угловой коэффициент высоты : . Используя формулу (47) из лекции 12, запишем уравнение высоты , проходящей через известную точку и имеющей известный угловой коэффициент :

.

в)Так как — медиана треугольника , то точка делит сторону пополам, следовательно, координаты точки равны полусумме соответствующих координат точек и , то есть . В очередной раз воспользуемся формулой (50):

.

Решение задачи 20

Напомним, что точка C симметрична точке A относительно прямой , если она лежит на прямой , перпендикулярной к и проходящей через точку A, и расстояние от до равно расстоянию от до (см. рисунок). Прежде чем находить точку C, найдём точку B — проекцию на .Для этого составим уравнение проектирующей прямой . Обозначим через угловой коэффициент прямой , а через — прямой . Так как и , то , а так как , то по формуле (47) имеем:

.

Далее, из того, что , вытекает, что координаты точки находятся из системы:

.

Теперь мы можем определить координаты точки . Действительно, так как точка B делит отрезок AC пополам, то координаты точки B равны полусумме координат точек A и C, то есть:

.