Определение напряжений и деформаций

В КРИВОЛИНЕЙНОМ СТЕРЖНЕ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.6), гл. 6 (§ 6.10).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 11 (§ 46, 47).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 10 (§ 10.1–10.3).

Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М., 1976.§ 132–139.

Основные определения

В плоском криволинейном стержне так же, как в плоской раме, состоящей из прямолинейных стержней, возникает три внутренних усилия: N, Q и М. Процесс определения внутренних усилий в криволинейном стержне тот же, что и в раме. Особенность состоит в новом правиле знаков для изгибающего момента: изгибающий момент считается положительным, если он увеличивает кривизну стержня[15]. Правила знаков для продольной и поперечной сил те же, что и при их определении в плоских рамах.

При чистом изгибе в криволинейных стержнях возникают нормальные напряжения, которые вычисляются по формуле

, (4.39)

где – радиус кривизны оси стержня; – величина смещения нейтральной оси от главной центральной оси сечения в сторону центра кривизны (точка С на рис. 4.50); – координата той точки, в которой мы ищем напряжения в главной центральной системе координат. Для того, чтобы формула (4.39) при определении напряжений правильно давала знак напряжений, ось следует направлять в сторону от центра кривизны. Формула (4.39) показывает, что нормальные напряжения в поперечном сечении криволинейного стержня распределяются не по линейному закону, как в прямолинейном стержне, а по гиперболическому. Эпюра нормальных напряжений в криволинейном стержне при чистом изгибе показана на рис. 4.50.

Рис. 4.50. Распределение напряжений в сечении кривого бруса при чистом изгибе

Для определения величины существуют разные пути. Будем делить криволинейные стержни в зависимости от отношения (где с – расстояние от центра тяжести сечения до крайнего внутреннего волокна) на стержни большой ( ), средней ( ) и малой кривизны ( ). Для стержней большой кривизны при определении рекомендуем использовать точные формулы для простых форм сечений (прямоугольник, круг), полученные в [2, § 46]. Если поперечное сечение имеет более сложную форму, то при определении величины для стержней большой и средней кривизны можно использовать либо приближенные формулы [2, § 46], либо таблицы, приведенные в [7, § 139]. Для стержней малой и средней кривизны допустимо использовать приближенную формулу

. (4.40)

Если в сечении, кроме изгибающего момента, действует продольная сила, то в формулу (4.39) добавляется слагаемое . Касательные напряжения от поперечной силы в практических расчетах для криволинейных стержней обычно не учитывают.

Для определения перемещений точек оси криволинейных стержней большой кривизны используется метод Максвелла – Мора, согласно которому обобщенное перемещение находится по формуле [2]

, (4.41)

где N, M – продольная сила и изгибающий момент от заданной нагрузки, , – продольная сила и изгибающий момент, вызванные обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению. Интегрирование ведется по длине дуги оси стержня ( – дифференциал дуги). Для криволинейных стержней малой и средней кривизны допустимо определять перемещения по формуле Максвелла – Мора для прямолинейных стержней, заменяя на :

. (4.42)

Видно, что формула (4.41) отличается от формулы Максвелла – Мора для прямолинейных стержней (4.42) знаменателем второго слагаемого ( вместо ) и наличием третьего слагаемого. Влияние поперечной силы на перемещения в обеих формулах не учитывается.

Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)

Условие задачи

Рис. 4.51. Схема стержня с нагрузками

Рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.51. Определим максимальные нормальные напряжения в криволинейной части стержня, если м, м, кН, кН×м. Стержень имеет прямоугольное поперечное сечение с высотой м, отношение . Найдем также горизонтальное перемещение левой подвижной опоры.

Решение

Рис. 4.52. Определение внутренних усилий

Прежде всего, построим эпюры внутренних усилий в стержне. Сначала определим опорные реакции обычным путем, составляя три уравнения равновесия. Найденные опорные реакции показаны на рис. 4.52. Для определения внутренних усилий рассечем стержень на трех участках. На прямолинейной части фиксируем сечение координатой х, на криволинейной части – углом (см. рис. 4.52). В соответствии с методом сечений находим усилия, рассматривая все силы с одной стороны от сечения:

участок 1: ;

;

кН;

;

участок 2: ;

;

;

;

участок 3: ;

;

;

.

По этим выражениям строим эпюры N, Q и М. В криволинейной части стержня считаем величины усилий, задавая значения (или ) через определенные промежутки (например, через 30°). Внесем результаты вычислений в таблицу (табл. 3).

Таблица 3

Отложим значения усилий в криволинейной части стержня в радиальном направлении, соединим ординаты плавными кривыми и получим эпюры N, Q и М (рис. 4.53). Эпюры штрихуем в радиальном направлении. Заметим, что так же, как и в прямолинейных стержнях, в сечении, где Q = 0, на эпюре М имеет место экстремум. Найдем экстремальное значение момента:

,

отсюда .

кН×м.

В сечении действует так же продольная сила N = – 44,7 кН.

Построим эпюру нормальных напряжений, определив значения напряжений в трех точках (a, b, c на рис. 4.54) опасного сечения по формуле (4.39), добавив в нее напряжения от продольной силы. Так как рассматриваемый криволинейный стержень является стержнем средней кривизны (R/c = R^.2/h = 4/0,8 = 5), то допустимо искать величину по приближенной формуле (4.40)

м⁴;

Рис. 4.53. Эпюры внутренних усилий

м²;

м. [16]

В точке a координата м и напряжение в этой точке

= (– 140 + 1027)10^–4 = 0,0887 кН/см².

Аналогично в точке b м и

= – 0,149 кН/см².

Наконец, в точке с, находящейся в центре тяжести сечения, напряжение

кН/см².

Эпюра напряжений построена на рис. 4.54.

Найдем напряжения в точках а и b по формуле для прямолинейных стержней

и сравним их с напряжениями, вычисленными по формуле для криволинейных стержней.

м³;

кН/м² = 0,102 кН/см²;

кН/м² = – 0,130 кН/см².

Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, составляет около 15 %. Напомним, что в рассматриваемом стержне отношение . Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, уменьшается с увеличением отношения . Для стержней малой кривизны ( ) можно вычислять s по теории прямолинейных стержней.

Найдем теперь горизонтальное перемещение левой опоры. Для этого приложим в точке А горизонтальную единичную силу (рис. 4.55), найдем опорные реакции и запишем выражения для продольной силы и изгибающего момента, вызванных этой единичной силой, на каждом участке:

участок 1: ;

; ;

участок 2: ;

; ;

участок 3: ;

; .

Рис. 4.55. Стержень под действием единичной силы, соответствующей горизонтальному перемещению точки А

При определении перемещений используем формулу (4.42) для прямолинейных стержней. Подставим в нее выражения для продольной силы и изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичной силы и, принимая во внимание, что на прямолинейном участке интеграл в рассматриваемом примере равен нулю и , получим

.

Используя известные значения определенных интегралов

; ; ; ; ,

найдем

.

Как легко выяснить, числитель первого слагаемого измеряется в кН×м, а числитель второго – в кН×м³. Найдем жесткости стержня при растяжении и изгибе:

кН;

кН×см²

и сосчитаем горизонтальное перемещение точки А:

= 10^–4(0,98 + 73,66) =

= 74,6×10^-4см.

Первое слагаемое в сумме показывает вклад продольной силы в перемещение. Видно, что он незначителен.

В заключение найдем горизонтальное перемещение точки А по формуле для криволинейных стержней (4.41). Сосчитаем значение третьего интеграла в (4.41):

= – 251,2 кН×м².

Таким образом, по формуле для криволинейных стержней

см.

Полученный результат показывает, что влияние кривизны стержня на перемещение меньше 3 % и значительно меньше, чем влияние на напряжения. Поэтому для стержней малой и средней кривизны при определении перемещений можно использовать формулу Максвелла – Мора, относящуюся к прямолинейным стержням и учитывающую влияние на перемещения только изгибающего момента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995.

2. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977.

3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989.

4. Сопротивление материалов: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-графическим работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И. А. Куприянов, Н. Б. Левченко, Г.С. Шульман. СПб., 2010.

5. Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-графических работ. Ч. 1. / Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая. СПбГАСУ; СПб., 2011.

Дополнительная

6. Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручинский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969.

7. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М., 1976.

СОДЕРЖАНИЕ

Общие указания по выполнению расчетно-графических работ.......................

Используемые обозначения........................................................................................

4. ИЗГИБ....................................................................................................................

4.1. Расчет статически определимых балок.....................................................

Примеры решения задач.......................................................................................

4.1.1. Определение внутренних усилий в балках (задачи № 12–15)..............

Пример 1............................................................................................................

Пример 2............................................................................................................

4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19).......................................................................................................

Пример 1...........................................................................................................

Пример 2. .........................................................................................................

Пример 3...........................................................................................................

4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)........................................................................................................

Примеры решения задач

Определение перемещений в балках аналитическим способом....................

Определение перемещений в балках методом Максвелла – Мора................

4.2. Расчет статически определимых рам........................................................

Примеры решения задач...................................................................................

4.2.1. Определение внутренних усилий в рамах (задачи № 21, 22)...............

4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22).........................

4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам......................................

Примеры решения задач...................................................................................

4.3.1. Расчет статически неопределимой балки (задача № 23).......................

4.3.2. Расчет статически неопределимой рамы (задача № 24).......................

4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление.........................................................................................................

Пример расчета трубопровода (задача № 26)......................................................

4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне...

Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)...................................

Список литературы.....................................................................................................

Нина Борисовна Левченко

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Часть 2

Редактор

Корректор К.И. Бойкова

Компьютерная верстка И.А. Яблоковой

ЛР № 020282 от 24.12.96

Подписано к печати. Формат 60х84 1/16. Бум. офсетная.

Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 500. Заказ . "С"

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный

университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

[1] В рамах при наличии продольной силы к нормальным напряжениям добавляется слагаемое .

[2] Заметим, что формула Журавского для стержней массивного поперечного сечения дает величину не полного касательного напряжения t_x, а его проекции на ось z (t_xz). Для тонкостенных стержней (двутавр, швеллер) по формуле Журавского можно найти полное касательное напряжение t_x в любой точке поперечного сечения.

[3] Не следует путать правило знаков для внешних моментов, которое используется при составлении уравнений равновесия и часто зависит от желания составителя уравнения, с правилом знаков для изгибающего момента – внутреннего усилия.

[4] В балке с заделкой можно строить эпюры Q и М без определения опорных реакций, рассматривая все силы с одной стороны от сечения – со свободного конца. Но студенту, только начинающему осваивать построение эпюр, рекомендуем все же реакции находить. Это дополнительная проверка правильности решения задачи.

[5] При вычислении статического момента не забывайте учитывать знаки координат центра тяжести.

[6] Перемещения точек оси по горизонтали гораздо меньше вертикальных перемещений и ими будем пренебрегать.

[7] Вспомнив, что , можно сказать, что угол поворота положителен, если функция является возрастающей на рассматриваемом участке. Такая формулировка правила знаков для угла поворота не зависит от того, где находится начало отсчета (слева или справа).

[8] Если обе перемножаемые эпюры линейны, то безразлично, какую эпюру разбивать на простые фигуры – М или М_i.

[9] Эпюру М на втором участке можно разбить и на две фигуры: трапецию, у которой основания имеют разные знаки (10 и –25) и сегмент . В этом случае удобно воспользоваться правилом перемножения трапеций (4.24).

[10] Для некоторых рам невозможно определить, где внешняя часть рамы, а где внутренняя. В этом случае знак изгибающего момента не определяется и эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон без знака.

[11] Для наглядности на изогнутой оси перемещения показаны преувеличенно большими (использован разный масштаб для изображения оси рамы и перемещений). В связи с этим на рис. 4.31 для изображения подвижной опоры применено другое обозначение.

[12] Если конструкция два раза статически неопределима, то результат перемножений эпюры М и эпюр М₁ и М₂ должен равняться нулю.

[13] При определении напряжений от изгиба на криволинейных участках трубы в местах сопряжения вертикальных и горизонтальных стержней рамы не учитываем эффект Кармана, связанный со сплющиванием поперечного сечения трубы и приводящий к уменьшению изгибных напряжений.

[14] В рассматриваемом примере опасным сечением может быть также сечение, в котором действуют усилия и .

[15] Если рассматриваемый стержень имеет и прямолинейный, и криволинейный участки, то для того, чтобы не было противоречия из-за разного правила знаков для изгибающего момента в прямолинейной и криволинейной частях стержня, принято строить эпюру изгибающего момента со стороны растянутых волокон без определения знака.

[16] Отметим, что по точной формуле, приведенной в [2, § 46], величина = 0,0269 м.