Подільність в кільці многочленів P[x],де Р-поле.

План

1.НСД і НСК елементів кільця P[x]. Лінійне представлення НСД елементів кільця P[x].

2.Незвідні многочлени.

3.Канонічний розклад многочлена.

1. НСД і НСК елементів кільця P[x].

Означення 1:Якщо многочлен d(x) є дільником многочлена f(x) і многочлена g(x),то він називається спільним дільником многочленів f(x) і g(x).

Означення2:Спільний дільник многочленів f(x) і g(x),який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів,називається НСД многочленів f(x) і g(x) і позначається – (f,g).

! Якщо d(x) – найбільший спільний дільник (f(x) і g(x),то й кожний многочлен сd(x) ,де с – елемент поля Р,відмінний від нуля,також є НСД цих многочленів.

! З точністю до сталого множника НСД визначається одночасно.

О3:Многочлени f(x),g(x) є P[x] називається взаємно-простими,якщо кожний їхній спільний дільник є многочленом нульового елемента (відмінною від нуля константою)

Теорема 1:Для будь-яких двох многочленів f(x) і g(x) є P[x] існує найбільший спільний дільник d(x),причому d(x) можна подати у вигляді

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),

де u(x) і v(x) – деякі многочлени з P[x].

Спосіб знаходження НСД двох многочленів – алгоритм Євкліда.

Нехай дано два многочлена g(x) i f(x),причому степінь f(x) не менший g(x). Виконаємо послідовне ділення з остачею,яке можна записати за допомогою такої системи рівностей:

f(x)=g(x) (x)+ (x),

g(x)= (x) (x)+ (x),

(x)= (x) (x)+ (x), (1)

………………………

(x)= (x) (x)+ (x),

(x)= (x).

Після скінченного числа ділень остача (x)=0.

deg (x)<deg g(x), deg (x)< deg (x) і.т. степінь deg (x)<deg (x). Це означає,що або якась з остач (x) дорівнюватиме нулю,або степінь остачі,зменшуючись при кожному ділення принаймні на 1 дорівнюватиме 0.

Якщо deg (x)=0,то =0,бо будь-який многочлен ділиться на многочлен нульового степеня.

Оскільки степінь (x) m-1,де m – степінь g(x),то число кроків у схемі (1) не може перевищувати m.

Приклад 1. Нехай f(x)= -3 +3x-1, g(x)=-1.Застосуємо алгоритм Євкліда.

0 (f,g)=x-1

Лінійне представлення НСД

Оскільки d(x)= (x),то з рівностей (1) дістаємо

d= - . (2)

У свою чергу

-

- (3)

………………………...

- . (4)

Підставляючи у (2) вираз (3) дістанемо:

d= - ( - ( - ) )

d= + (1+ )

Виключаючи далі ,…,ми щоразу діставатимемо вираз d через i ,в якому множники утворені з часток за допомогою додавання і множення. Процес поступового виключення припиниться тоді,коли в правій частині рівності з’явиться i .

Отже дістанемо

d=fu+gv (5)

Приклад 2: З прикладу 1

d= =x-1

(x)= (x)+f(x)= (x)

g(x)= (x)

Означення 4. Спільним кратним многочленів f(x), g(x) є P[x] називається будь-який многочлен S(x) є P[x] такий, що S(x): f(x) і S(x): g(x). Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) і g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x),яке ділить будь-яке інше спільне кратне цих многочленів. НСК многочленів f(x) і g(x) позначають [f,g].

Теорема 3. Для будь-яких відмінних від нуля многочленів f(x) і g(x) найменше спільне кратне існує і визначається однозначно з точністю до сталого множника

r₂(x) = g(x) – r₁(x) S₂(x)

r₂(x) = g(x) – (f(x) – g(x) S₁(x)) S₂(x)

r₂(x) = g(x) – f(x) S₂(x) + g (S₁(x) S₂(x)) = g(x) (1 + S₁(x) S₂(x)) – f(x) S₂(x)

r₂(x) = (x³ – 1) (1 + (- x - ) – (x³ – 3x² + 3x + 1) (- x - )

V(x) = ( - x), U(x) = ( x - )

НСК = -4(а)

2. Незвідні многочлени.

Означення 1. Многочлен f(x) є P[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочленів виду c f(x), де с – константа.

Означення 2. Многочлен f(x) є P[x] називається звідним у полі Р, коли

deg f ≥1 і коли існують такі многочлени g(x), S(x) є P[x], що f(x) = g(x) S(x) є P[x], причому deg g ≥1, deg S ≥1.

Звідність чи незвідність многочлена є поняття відносне і залежить від поля Р, над яким многочлен розглядається.

Приклад 3. Многочлен (х² + 1) незвідний у полі раціональних чисел і в полі дійсних чисел. Він звідний в полі комплексних чисел.

Приклад 4. Многочлен (х² - 2) незвідний у полі раціональних чисел. Він звідний у полі чисел виду а + b ( a, b є Q): (х² - 2) = (х - ) (х + )

Теорема 2. Многочлен першого степеня над довільним полем Р незвідний у цьому полі.

3. Канонічний розклад многочлена

Теорема 3. Кожний многочлен f(x) ненульового степеня над полем Р можна подати у вигляді:

f(x) = p₁(x) p₂(x) … p_l(x), (6)

де всі p_k(x) є незвідними многочленами у полі Р. Зображення (6) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів p_k(x).

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем Р можна подати у вигляді:

f(x) = [p₁(x)]^k₁ [p₂(x)]^k₂ … [p_m(x)]^k_m (7)

Зображення (7) – канонічний розклад многочлена f(x) у полі Р.

Означення 3. Якщо многочлен p_i(x) входить у канонічний розклад (7) у степені з показником k_j, кажуть, що p_j(x) є множником кратності k_j многочлена f(x). Множники кратності яких більша за одиницю називаються кратними множниками многочлена.

Приклад 5. Розкладемо f(x) = х³ + х² – 5х + 3 на незвідні множники в полі раціональних чисел:

f(x) = х³ + х² – 5х + 3 = (х – 1) (х – 1) (х +3) = (х – 1)²(х + 3)

p₁(x) = x – 1 – кратності 2.

P₂(x) = x + 3 – кратності 1.

Такий розклад у будь-якому полі, бо це многочлени 1-го степеня.

Приклад 6. f(x) = х⁴ – х² + 4 = (х² – 2) – у полі раціональних чисел.

f(x) = (х - ) (х + ) – у полі дійсних чисел. Обидва множники кратності 2.

Теорема 4. Якщо многочлени f(x) і g(x) розкладені на незвідні множники у довільному полі Р, то НСД (f,g) дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як f(x) так і g(x). Якщо таких спільних незвідних множників немає, то (f,g) = 1.

Приклад 7. Нехай f(x) = (х – 1)²(х + 3), g(x) = (х – 1)³. НСД (f,g) = (х – 1)², тобто (f,g) = х² – 2х +1

****************************************************************************

Лекція 3

Корені многочлена

План

1. Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.

2. Теорема про найбільшу можливу кількість коренів многочлена.

3. Існування кореня многочлена над довільним полем. Формули Вієта.

4. Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів. Приклади.