Глава 3. Исследование функций и построение графиков

Промежутки монотонности и знакопостоянства

Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f / (x) ³ 0.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f /(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b] (рис. 3.1).

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f /(x)£0 на этом отрезке. Если f ¢ (x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b] (рис. 3.2).

Глава 3. Исследование функций и построение графиков - student2.ru Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Экстремумы функции

Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

(необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Но обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) = Глава 3. Исследование функций и построение графиков - student2.ru

 
  Глава 3. Исследование функций и построение графиков - student2.ru


В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

(Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “–“, то в точке х = х1 функцияf(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “–“ на “+”, то функция имеет минимум.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Наши рекомендации