Дәріс. Дөңгелек металл толқынжол

Дөңгелек метал толқынжол – бұл көлденең қимасының радиусы r=a дөңгелек болып келетін, идеалды өткізгіш металлдан жасалған z осі бойымен созылған түтік. (7.1. сурет). Оның ішіндегі орта – вакуум.

7.1 сурет– дөңгелек металл толқынжол

Математикалық есептеулер үшін цилиндрлік координаталар жүйесін қолданамыз (бұдан былай ЦКЖ). Н-типті толқындарды зерттегенде Гельмгольц теңдеулерін қолданамыз:

.

ЦҚЖ-ны Лаплас операторымен өрнектеп, мынаны аламыз:

. (7.1)

Электрлік вектор металлда ( құраушысы нольден басқа сан) нольге ұмытылатын жанама құраушыларға ие. Сонда шекаралық шарттар мына түрге ие болады:

r = a кезінде .

Айнымалыларды бөлу тәсілін қолданып (7.1) өрнегін мына түрге түрлендіреміз:

. (7.2)

Математикада (7.2.) теңдеуі жақсы зерттелген. Ол – Бессель теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеуде m=0, 1, 2, … – Н-типті толқынның индексі болатын бүтін сандар.

(7.2) теңдеуін шешкенде толқынжолдың көлденең қимасының кез келген нүктесінде өріс шекті бір мәнге ие болатынын ескере отырып, мынаны аламыз:

, (7.3) мұндағы - Бессель функциясы (7.2 сурет) немесе m ретіндегі бірінші текті цилиндрлік функция. Бессель функциясының ролі декарттық координаталар жүйесіндегі sin және cos сияқты, бірақ түрі өзгеше. Бессель функциясы периодикалық емес және оның аргументі өскен сайын амплитудасы кемиді.

7.2 сурет – Бессель функциясының графигі

Шекаралық шарттардан көлденең толқындық санды g табамыз:

Егер r = a кезінде , өрнегі r = a кезінде 0-ге тең.

Бұл теңдеудің түбірлер саны шексіз, түбірлерді түрінде белгілесек, сонда:

,

және (7.3) өрнегі мына түрге ие болады:

.

Түбірдің n номері – толқынның екінші индексі.

Индекстердің физикалық мағанасы:

m – φ бұрыштық координатасындағы өрістің варияцияларының саны,

n – r координатасы бойынша өрістің өзгеру сипаттамасы.

Әрбір m және n жұбына болмайтын (басқа жағдайда немесе ) толқынжолдағы өрістің нақты суреті сәйкес келеді. Критиклық ұзындығы:

.

Бессель функциясының неғұрлым аз мәнді түбіріне толқынының төменгі типі сәйкес келеді, сонда . Өрістің құрылымын тікбұрышты толқынжолдың негізгі толқындарын деформациялау арқылы аламыз (7.3 сурет).

Тікбұрышты толқынжолдың жоғары типті толқындарының өрістерінің құрылымдық суреттерін құрғандағы ережелер дөңгелек толқынжол үшін орындалмайды.

мына өрнектерімен анықталады (5.3), (5.4), (5.5), (6.1), (6.2).

7.3 сурет – дөңгелек толқынжолдағы Н₁₁ толқынының өріс құрылымы

Осы өрнектер Е типті толқын үшін де қолданыла береді. Алайда шекаралық шарттар бойынша r = a кезінде болғандықтан

,

мұндағы теңдеуінің түбірлері.

Е типті толқындар арасында ең төменгі толқын болып саналады, ол үшін , . және үшін кестелер анықтамаларда келтірілген.

Е типті толқын өрісінің бойлық құраушыларының өрнегі:

.

m = 0 индексі сурет бойынша симметриялы екенін білдіреді, мысалы, толқыны (7.4 сурет).

7.4 сурет – дөңгелек толқынжолдағы толқынының өріс құрылымы

(6.2) бойынша анықталады.

7.5. суретте дөңгелек толқынжолдағы толқын типтерінің диаграммасы бейнеленген.

кезінде толқынжол ( типті толқын) бірмодалы режимде жұмыс істейді, яғни жабылу коэффициенті-1,3; реалды болса одан да аз.

7.5 сурет – дөңгелек толқынжолдағы толқын типтерінің диаграммасы

типті толқынның поляризациялық тұрақсыздығынан, ол көбіне қысқа кесінділер түрінде қолданылады. Ал симметриялық типтерінің (m=0) көп болуы іс жүзінде айналмалы мүшелеуді жасауға керек. Бұл мақсатта көбіне типтегі толқындарды қолданады (7.4 және 7.6 суреттер).

7.6 сурет. Дөңгелек толқынжолдағы толқынының өрістік құрылымы

толқыны үшін мүмкін болатын қуат шамасы тікбұрышты толқынжолдағы мүмкін болатын қуаттан аз ғана асып түседі, ал поляризациясы – сызықты:

. (7.4)

(7.4) өрнегі m 1 болғанда Н типті толқындар үшін де қолданыла береді.

Бір-біріне 90 градус фазасында ортогональды орналасқан екі толқынын қоздырсақ, екі еселенген қуаты бар өрістің әрбір нүктесінде мүмкін болатын кернеулігі бар дөңгелек поляризацияланған толқынды аламыз.

Дөңгелек толқынжолда Н_0n типті толқынның беттік тоғы тек қана азимутальды құраушыларға ие, және жиіліктің өсуіне байланысты шығындар нольге ұмытылады.

Дөңгелек толқынжолдың шартты графикалық белгілері 7.7. суретте көрсетілген.

7.7 сурет – Дөңгелек толқынжолдың графикалық шартты белгісі

Қорытындылайтын болсақ, дөңгелек толқынжолда да, тікбұрышты толқынжолда да дисперсия нәтижесінде спектрдің әртүрлі құраушылары үшін топтық жылдамдықтарының (V_гр) айырмашылықтары бар болғандықтан импульстың расплываниесы байқалады.

Сигналдың жолағы неғұрлым жіңішке, арақашықтық неғұрлым аз және өшудің жиіліктен тәуелділігі неғұрлым әлсіз болса, комплексті амплитуда (огибающая) соғұрлым аз майысады. Өшу әлсіреу сияқты спектр формасының өзгеруіне әкеледі, яғни әсерлі тасымалдың өшуі аз жиіліктер жағына қарай ығысады. Бұдан қабылданған сигнал әсерлі тасымалдаушысына жақын орналасқан спектр бөлігімен шартталған.