Классификация изолированных особых точек с помощью ряда Лорана.

Примеры.

1. f(z)= (-1)nz2n= (-z2)n=1/(1+z2); Как легко показать, ряд сходится при |z|<1. Сумма ряда – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Особые точки суммы ряда очевидно z1,2=±i. Отсюда понятно, почему разложение функции f(x)= 1/(1+x2) в степенной ряд в окрестности точки x=0 абсолютно сходится только при -1<x<1 и расходится при |x|≥1, хотя эта функция при "x обладает непрерывными и ограниченными производными " порядка.

2. Степенной ряд, сумма которого имеет счетное, всюду плотное

множество особых точек на границе своего круга сходимости.

- сходится при |z|<1 (по формуле Коши- Адамара).

При z=1 ряд расходится. Рассмотрим точки , |zk,m|=1;

k-фиксировано, m=0,1,2....; m=0, zk,0=1; m=2k , =1, при m=1,... ,2k-1 точки делят окружность единичного радиуса на 2k частей.

и при n³k =1=> в этих точках ряд расходится. При k®¥ точки zk,m всюду плотно расположены на единичной окружности => Сумма ряда имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе единичного круга (т.е. в любой ϵ-окрестности каждой точки границы |z|=1 найдутся особые точки) => Эту аналитическую функцию нельзя аналитически продолжить за границу единичного круга !!. (Т.к. в " точке z: |z|<1 радиус круга сходимости степенного ряда будет не больше расстояния до границы единичного круга. По следствию к теореме 13.1.

Рассмотрим ряд

По формуле Коши-Адамара, данный ряд сходится в любой точке |z|<1 к (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Вне круга сходимости ряд расходится. Построим разложение f(z) в степенной ряд с центром в т.z0= -0,9:

В нашем случае f(z)= Круг сходимости Ряд сходится внутри этого круга сходимости к . Т.е. круг сходимости выходит за пределы первоначального круга |z|<1.

Взяв в качестве нового центра разложения точку z1 внутри круга |z-z0|<|1-z0|, получим ряд , сходящийся внутри круга |z-z1|<|1-z1|

Ряды сходятся к функциям . Отметим, что при любом выборе центра разложения, граница соответствующего круга сходимости пройдет через точку z=1. Тем самым можно построить аналитическое продолжение f(z) на всю комплексную плоскость за исключением точки z=1. При этом, полученное с помощью рядов аналитическое продолжение будет - определенная и аналитическая на всей комплексной плоскости, кроме точки z=1. Хотя и имеют место многочисленные взаимные наложения построенной цепочки областей, полученная аналитическая функция является однозначной во всей области своего определения.

3. Пусть f(z) является аналитической функцией в области g. И пусть точка z0 является достижимой граничной точкой. Будет ли z0- особой точкой f(z).

Теорема Принсгейма. Если и Recn≥0 – то точка z=1 – особая точка функции

Теорема Фабри. Если то точка z=1 – особая точка функции

Эти теоремы выходят за рамки нашего курса, поэтому даются без доказательств.

п.3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.

Теорема 13.2

Пусть fi(z)ÎC¥(gi), i=1,2 и fi(z)ÎC (gi+G) и f1|G= f2|G. Тогда

$F(z)= ÎC¥(g=g1+g2+G).

Доказательство. Достаточно показать, что "z0ÎG является правильной точкой F(z) (кроме может быть концевых точек G). Возьмем "z0ÎG и построим C=C1(Ìg1)+C2(Ìg2); CÌg- кусочно- гладкие. Рассмотрим интеграл типа Коши

F(z)= ÎC¥(g'Ìg). Поскольку при zÏC F(z) непрерывна на C, то z0- правильная точка F(z).Пусть z1Îg'1. Тогда F(z1)= + + . Второе слагаемое равно 0 т.к. z1Îg'1. => F(z1)=F(z1). Аналогично получим, что при z2Îg'2 F(z2)=F(z2). По непрерывности получим, что F(z0)=F(z0) => z0ÎG является правильной точкой F(z). n

Построенная функция F(z) является аналитическим продолжением функции f1(z) в область g.

§14. Аналитическое продолжение с действительной оси.

п.1. Элементарные функции комплексной переменной.

Пусть [a,b]Ìg комплексной плоскости z. Тогда в силу теоремы единственности определенной аналитической функции в g может $! функция f(z)ÎC¥(g), принимающая заданные значения f(x) на xÎ[a,b]. Если такая f(z) $, то она называется аналитическим продолжением в комплексную плоскость функции действительной переменной, заданной на действительной оси. f(x)- вообще говоря, комплексная функция действительной переменной. Причем в силу свойств аналитической функции f(x) должна быть бесконечно дифференцируема по x !!.

Элементарные функции действительной переменной.

sin x= ; cos x= ; ex= - сходятся для "x

Целые функции (область сходимости – вся комплексная плоскость) , , - единственные аналитические продолжения sin x, cos x, ex на всю комплексную плоскость z. Естественно сохранить для них старые обозначения. Прямой проверкой проверяется формула Эйлера: eiz=cos z+ isin z. Однако, это, с одной стороны требует нудных преобразований и обоснования возможности перестановки членов абсолютно сходящихся рядов, а с другой стороны, является следствием общего положения и возможности аналитического продолжения не только функций, но и аналитических соотношений.

п.2. Аналитическое продолжение соотношений.

Перейдем к рассмотрению дальнейших следствий из теоремы о единственности определения аналитической функции. Эта теорема позволяет не только строить аналитические продолжения элементарных функций действительной переменной, но и аналитически продолжать в комплексную область соотношения.

Определение. Функция комплексных переменных F(w1,w2,…,wn) , wiÎDi, называется аналитической функцией многих переменных, если F и ∂F/∂wi непрерывны по совокупности переменных w1,w2,…,wn.

Определение. Функция комплексных переменных F(z1,z2,…,zn) , ziÎDi, называется аналитической функцией каждой из переменных, если соответствующая функция Фi(zi)=F(z10, …,zi-10 ,zi, zi+10 ,…zn0 ) одной переменной zi является аналитической функцией данной переменной. Тогда

Теорема 14.1 Пусть функции wi=fi(z)ÎC¥(g) и [a,b]Ìg, wiÎDi. И пусть F(z)=F[w1,..., wn] является аналитической функцией каждой из переменных wiÎDi. Тогда из соотношения F[f1(x),...,fn(x)]=0, xÎ[a,b] =>F[f1(z),...,fn(z)]º0, zÎg.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что F(z)ÎC¥(g). Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное.

DF=F[f1(z+Dz),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z)]=F[f1(z+Dz),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z+Dz)]+ +F[f1(z),f2(z+Dz)]-F[f1(z),f2(z)]= т.к. частные производные F существуют и непрерывны= =>$ , Ф’(z)-непрерывна =>F(z)ÎC¥(g) n.

Теорема 14.1 позволяет аналитически продолжать в комплексную плоскость соотношения между элементарными функциями одной действительной переменной.

Примеры.

1. Из известного соотношения eix=cos x+ isin x => eiz=cos z+ isin z

2. sin2x+cos2x=1 => sin2z+cos2z=1, причем |cos z| и |sin z| по Теореме Лиувилля неограниченны на всей комплексной плоскости.

3. ; elnx=x, x>0. В области D0 рассмотрим неопределенный интеграл f(z)= ; 1/xÎC¥(x¹0). Интеграл по " пути, (не пересекающему разрез!) $ и f(z)ÎC¥(D0)- аналитическое продолжение

ln x (x>0). Если сохранить старое обозначение, то lnz= , zÎC¥(D0). По теореме 14.1 eln z=z, " zÎD0. lnz – главное значение логарифма

Теорема 14.2 Пусть функции wi=fi(zi)ÎC¥(gi) и [ai,bi]Ìgi, wiÎDi. И пусть F(z1,…,zn)=F[w1,..., wn] является аналитической функцией каждой из переменных wiÎDi. Тогда из соотношения F[f1(x1),...,fn(xn)]=0, xiÎ[ai,bi] (*) =>F[f1(z1),...,fn(zn)]=0, "ziÎgi.

Доказательство. Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное. Фиксируем x20Î[a2,b2] и рассмотрим F1(z1)=F[f1(z1),f2(x20)]ÎC¥(g1). По теореме 14.1 из (*) => F1(z1)º0, "z1Îg1. Т.к. x20- произвольное, то => F[f1(z1),f2(x2)]=0, "z1Îg1, "x2Î[a2,b2] (**) . Фиксируем z10Îg1 и рассмотрим F2(z2)=F[f1(z10),f2(z2)]ÎC¥(g2). Из (**)=>F2(z2)º0, "z2Îg2 => F[f1(z10),f2(z2)]=0, "z2Îg2 Т.к. z10- любое из g1 то F[f1(z1),f2(z2)]=0, "z1Îg1, "z2Îg2. n

Примеры.

1. sin(z1+z2)=sinz1cosz2+cosz1sinz2 "z1,z2 и другие тригонометрические формулы для функций разных аргументов.

2. w=f(z)=ez- аналитическое продолжение ex на всю комплексную

плоскость. Т.к. ex1+x2= ex1 ex2=> ez1+z2= ez1 ez2, в частности ez=ex+iy=ex eiy=w => =>|w|=ex, arg w=y - показательная функция w= ez производит отображение прямой y=y0 на плоскости z на луч arg w=y0 на плоскости w.

Обратная функция z=lnw=x+iy=ln|w|+iarg w.

п.3. Понятие Римановой поверхности

Пусть f1(z)ÎC¥(g1) и g1Çg2=g12È g21¹Æ и пусть f2(z)ÎC¥(g2), причем f2(z)ºf1(z), zÎg12, но f2(z)≠f1(z) при zÎg21,. Тогда мы получаем двузначную аналитическую функцию F(z)= ÎC¥(g). Значит придется сталкиваться с выбором значения функции в точках многозначности. Для удобства выбора этих значений часто пользуются понятием ветви аналитической функции, являющейся однозначной и непрерывной функцией в соответствующей части области определения функции F(z). Однако, иногда удобнее оказывается иное представление, позволяющее рассматривать функцию как однозначную, но определенную на более сложном многообразии, чем обычная плоскость комплексной переменной. Так в нашем примере склеим области g1 и g2 по общей области g12, в которой f1(z) и f2(z) совпадают, а два экземпляра g21 оставлены свободными. Построенное таким образом многообразие называется римановой поверхностью аналитической функции, а отдельные экземпляры повторяющихся областей – различными листами римановой поверхности.

Примеры.

1. w=f(z)=ez . Полоса g0(-p<Imz<p)«D0(-p<arg w<p)- плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси, причем граничной прямой Imz=-p соответствует нижний берег разреза, а прямой Imz=p- верхний берег разреза.

Аналогично, g1(p<Imz<3p)«D1(p<arg w<3p). Чтобы при непрерывном переходе точки z из g0 в g1 через Imz=p образ этой точки непрерывно переходил из D0 в D1 надо склеить берега разрезов, соответствующие общему значению arg w=p. Получим новое геометрическое многообразие - двулистную Риманову поверхность, состоящую из листов D0 и D1.

Аналогично gn((2n-1)p<Imz<(2n+1)p)«Dn((2n-1)p<arg w<(2n+1)p). Полная комплексная плоскость z « бесконечнолистную Риманову поверхность, склеенную из листов Dn, причем лист Dn склеен с листами Dn+1 и Dn-1 по берегам разрезов на которых arg w принимает одинаковые значения. На этой Римановой поверхности определена обратная функция z=Ln w =ln|w|+iArg w, -¥<Arg w<¥.

На обычной комплексной плоскости w функция z=Ln w является бесконечнозначной (многозначной). На каждом n-ом листе- определенная ветвь

lnn w. w=ez=eLnw. Функция w=ez - периодическая с минимальным периодом 2pi: ez= ez+2pi. ez- бескончнолистная (многолистная).

п.4. Понятие точки ветвления.

1. w=f(z)=ez . Особая роль точки w=0.

При обходе точки w0¹0 по достаточно малому замкнутому контуру, мы все время остаемся на одном и том же листе Dn, или возвращаемся на этот лист, дважды пересекая разрез, заходя на Dn-1(Dn+1). При этом, после обхода значение

lnn w не изменится.

При обходе точки w=0 мы пересечем разрез только один раз и с одной ветви lnn w (lnn w0 = ln |w0|+i arg w0, (2n-1)p<arg w0<(2n+1)p ) перейдем на другую ветвь lnn-1 w (lnn-1 w0 = ln |w0|+i arg w0, (2n-3)p<arg w0<(2n-1)p ). Точка w=0 - точка ветвления функции z=Ln w. Причем для Ln w точка w=0- точка ветвления бесконечного порядка.

Аналогичными свойствами обладает бесконечно удаленная точка w=w¥. Напомним еще раз определение точки ветвления:

Определение. Если для точки z0 можно указать такую e-окрестность, что при однократном обходе точки z0 по " замкнутому контуру Ì этой e-окрестности, происходит переход с одной ветви многозначной функции на другую, то точка z0 называется точкой ветвления (разветвления) данной многозначной функции.

В окрестности точки ветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как отдельные однозначные функции, поскольку при обходе точки ветвления их значения меняются.

  1. Для функций w=f1(z)= и w=f2(z)= точки z=0 и точки z=±1 соответственно являются точками ветвления второго порядка (Разобрать самостоятельно!).
  2. f(z)=za, где a- " число, действительное или комплексное.

f(z)=eaLnz= ea(ln|z|+iArg z).

При a=n: ein(arg z+2pk)= ein arg z => f(z)= zn- однозначная (но многолистная, n-листная. Любой сектор с углом 2π/n – отображается на всю комплексную плоскость).

При a=n/m - f(z) принимает m различных значений (многозначная) и n-листная.

При a иррациональном или комплексном f(z) принимает бесконечное число значений (многозначная).

1i=eiLn1= ei(ln|1|+i2pk)= e-2pk, k=0, ±1, ±2....

В общем виде: если функция однозначная, то обратная к ней функция однолистная, если функция n-значная, то обратная к ней n-листная, если функция ¥-значная, то обратная к ней ¥-листная.

Тригонометрические функции являются бесконечнолистными периодическими функциями. А обратные к ним функции бесконечнозначными.

§15. Ряд Лорана.

cn(z-z0)n= cn(z-z0)n+ =P(z)+Q(z). P(z) называется правильной частью ряда Лорана, Q(z)- главной частью ряда Лорана. P(z)ÎC¥(|z-z0|<R1), Q(z)-? 1/(z-z0)=x; Q(z)®`Q(x)= c-nxnÎC¥(|x|<1/R2), где мы обозначили через 1/R2 радиус сходимости полученного степенного ряда (т.е. |z-z0|>R2 ). При R2<R1 существует общая область сходимости- круговое кольцо R2<|z-z0|<R1.

Следствия теоремы Абеля:

1. cn(z-z0)nÎC¥(R2<|z-z0|<R1).

2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также ÎC¥(R2<|z-z0|<R1).

3. R1 определяется через {cn}¥n=0 : R1=1/L1, L1= или , а R2-через {c-n}¥n=1 : R2= , или R2= (а не L2).

4. Коэффициенты ряда Лорана cn через значения суммы ряда в точке z0 не определяются! В точке z0 сумма ряда Лорана не определена!

Теорема 15.1 Если f(z) ÎC¥(R2<|z-z0|<R1), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= cn(z-z0)n.

Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца:

(R2<|z-z0|<R1) и построим окружности CR'1 : |x-z0|=R’1 и CR'2 : |x-z0|=R’2, с центром в точке z0 и радиусами R'1 и R'2 : R2<R'2<|z-z0|<R'1<R1. По формуле Коши для многосвязной области

f(z)= + =P(z)+Q(z).

На окружности CR'1: |x-z0|=R’1 выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде

1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]= и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной x на CR (см. доказательство теоремы Тейлора), получим

P(z)= cn(z-z0)n, где cn= , n³0.

На окружности CR'2: |x-z0|=R’2 выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(x-z) можно представить в виде

1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]=

В результате почленного интегрирования этого ряда получим:

Q(z)= , n>0, где c-n= . Изменив направление интегрирования, получим: c-n= , n>0. Подынтегральные функции в выражениях для cn и c-n являются аналитическими в круговом кольце R2<|z-z0|<R1. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение cn= , n=0,±1, ±2,…,

где C- произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R2<|z-z0|<R1 и содержащий точку z0 внутри. Для f(z) окончательно можно записать:

f(z)= cn(z-z0)n+ = cn(z-z0)n, где cn= . Т.к. z-произвольная точка внутри кольца R2<|z-z0|<R1 => ряд cn(z-z0)n сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце

R2<R'2£|z-z0|£R'1<R1 ряд сходится к f(z) равномерно.

Докажем единственность. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= c'n(z-z0)n, где хотя бы один коэффициент c'n¹cn. Тогда всюду внутри кольца R2<|z-z0|<R1 имеет место равенство: c'n(z-z0)n= c'n(z-z0)n. Проведем окружность CR, радиуса R, R2<R<R1, с центром в точке z0. Тогда ряды c'n(z-z0)n и c'n(z-z0)n сходятся на CR равномерно. Умножим оба ряда на (z-z0)-m-1, где m- произвольное фиксированное целое число и проинтегрируем почленно. Рассмотрим . Положив z-z0=Reij., получим =

= .=> после почленного интегрирования слева и справа останется по одному слагаемому, значит для произвольного целого m c'm=cm, n

Точной областью сходимости ряда Лорана является круговое кольцо

R2<|z-z0|<R1, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции f(z), к которой (к функции) сходится данный ряд. (см. Теорему 13.1).

§16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.

п.1. Определение изолированной особой точки.

Определение. Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)), а точка z0 является особой точкой функции f(z).

Другими словами, точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если $ такая окрестность точки z0, в которой нет других особых точек.

Пример неизолированной особой точки.

       
   
 

z0 – предельная (точка сгущения) точка нулей знаменателя – неизолированная особая точка.

В самой точке z0 функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z0 можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце

0<|z-z0|<r(z0). Поведение функции f(z) в окрестности точки z0 определяется главной частью ряда Лорана Q(z)= .

Важное замечание В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана.

п.2. Классификация изолированных особых точек.

Возможны три случая:

a) Для "n>0 c-n=0; Q(z)=0; f(z)®c0 при z®z0 (остальные члены разложения равны 0)- устранимая особая точка. Если функция не определена в точке z0 или ее значение не совпадает с c0, то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z0)=c0 – тем самым мы устраним разрыв функции. В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z0|<r(z0) : |f(z)|<M и f(z)=(z-z0)mj(z), m³0- целое, j(z0)¹0; и если f(z)=0, то z0- нуль m- того порядка.

Пример устранимой особой точки.

       
   
 

 
 

"n>0 c-n=0 Q(z)=0

Теорема 16.1 Если f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)) (т.е. z0- особая точка функции f(z)) и |f(z)|<M при 0<|z- z0|<r(z0), то z0- устранимая особая точка.

Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c-n= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z0 и радиуса r: |x-z0|=r. Тогда , сделав замену x-z0=reij, dx=ireijdj и учтя, что |einj|=1, получим оценку:

|c-n|<rMrn-1®0 при r®0. Т.к. значения c-n не зависят от r, то c-n=0. n

b) Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями;

Q(z)= ; c-m¹0. f(z)®¥ при z®z0- полюс порядка m,

f(z)= ; y(z)- аналитическая функция и y(z0)¹0. Для функции y(z) главная часть разложения в ряд Лорана будет иметь вид:

Q(z)= ;т.е. членов с отрицательными степенями нет.

Пример полюса m-того порядка.

 
 

Теорема 16.2 Если f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)), z0- изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>¥ при z®z0 (независимо от способа стремления z к z0), то z0- полюс f(z).

Доказательство. |f(z)|=>¥ при z®z0 => для "A>0 $e: 0<|z-z0|<e, |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z)ÎC¥(0<|z-z0|<e); |g(z)|<1/A=M => z0- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) и g(z)→0 при z→z0 => g(z)=(z-z0)mj(z), m³0 =>

=>f(z)= ; y(z0)¹0 n.

Замечание. Точка z0, являющаяся нулем порядка m для функции f(z), является полюсом того же порядка m для функции g(z)=1/f(z)

c) Точка z0 называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z0 содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z0). (Бесконечное число коэффициентов c-n¹0). f(z) – не существует. Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.

Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e>0, в "h- окрестности существенно особой точки z0 0<|z-z0|<h $ z1: |f(z1)-B|<e.

Доказательство. (От противного) Пусть z0 существенно особая точка функции f(z). Пусть $ такие e0 и h0: для "z 0<|z-z0|<h0; |f(z)-B|>e0 для заданного B. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/e0=M. => z0- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) => g(z)=(z-z0)mj(z), m³0 => f(z)=B+ ; y(z0)¹0 => z0- полюс f(z) m¹0, или правильная точка при m=0. Т.е. в разложении в ряд Лорана в окрестности точки z0 – конечное число членов с отрицательными степенями. Получили противоречие. n

Замечание 1. {hn}®0 =>{z(n)1}®z0. {f(z(n)1)}®B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z(n)1}®z0 такую, что {f(z(n)1)} сходится к " наперед заданному числу.

Замечание 2 В окрестности существенно особой точки z0, если f(z)≠0 для функции g(z)=1/f(z) точка z0тоже является существенно особой точкой

Пример. f(z)=e1/z точка z=0 - существенно особая.

Соберем вместе вышеизложенные факты. Получим:

Классификация изолированных особых точек с помощью ряда Лорана.

Пусть z0- изолированная особая точка f(z)ÎC¥(0<|z-z0|<r(z0)). Если в разложении в ряд Лорана в этой окрестности

a) Отсутствуют члены с отрицательными степенями - z0 -устранимая особая точка f(z).

b) Если конечное число членов с отрицательными степенями - z0 -полюс f(z).

c) Если бесконечно много членов с отрицательными степенями - z0 -существенно особая точка f(z).

Наши рекомендации