Найти результат умножения матрицы B на число 2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………….........................1
1. Лабораторная работа №1…………………………...…………...2
2. Лабораторная работа №2………………………………………15
3. Заключение………………………………………………….…..18
Список использованной литературы…………………….……19
ВВЕДЕНИЕ
Курс «Математика» есть совокупность математических дисциплин, входящих в учебный план высших технических и некоторых специальных учебных заведений. Он знакомит с основными понятиями линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, математического и линейного программирования, теории вероятностей, математической статистики, служит базой для изучения общенаучных, общеобразовательных и специальных дисциплин. Модели и методы математики являются хорошим средством и языком для построения и анализа моделей в различных науках. Влияние информационных технологий затрагивает практически все стороны нашей жизни. Компьютеры буквально на глазах изменяют нашу жизнь. Появляются потребности в новых способах обработки информации и возникают новые информационные технологии, которые с каждым годом все активнее проникают в различные области знаний: экономику, управление, экологию и т.д.
Математика и ее методы стали обязательным предметом при подготовке специалистов любого профиля. Математика вросла в науки, став универсальным языком описания различных процессов и явлений. Огромный опыт человечества убедительно доказал, что математика является незаменимым и мощным орудием познания мира. С компьютеризацией всех областей человеческой деятельности pоль математических методов еще больше возрастает.
С помощью математических методов исследуются сложные прикладные задачи описательного, оптимизационного и управленческого типов, которые нельзя решить с помощью других более простых методов или основываясь только лишь на опыте и "здравом смысле".
В данных методических указаниях к выполнению лабораторных работ рассмотрены вопросы применения математических функций программы Microsoft Excel для решения типовых математических задач.
Лабораторная работа №1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ
Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, решать матричные уравнения, используя для упрощения расчётов математические функции программы Microsoft Excel.
Задачи работы:
1. Даны матрицыАи В. Найти:
а) матрицу А + В;
б) матрицу 2B;
в) произведение A(A+B) матриц А и A+B;
г) матрицу (A+B)-1 обратную к матрице A+B;
д) определитель матрицы A+B;
е) матрицу (A+2B)T транспонированную к матрице A+2B.
2. Для данных матриц А и В решить матричное уравнение AX = B.
ХОД РАБОТЫ
Для выполнения поставленных задач с помощью ЭВМ, целесообразно использовать табличный процессор Microsoft Excel 2007. С помощью различных математических формул, встроенных в данный программный продукт, возможно проводить математические расчеты с участием матриц. Данные для выполнения работы выбраны согласно необходимым критериям
Вариант №14
A= B=
Задача № 1
Найти сумму матриц А+B
Решение с помощью встроенных функций Excel выглядит так:
Здесь использована функция СУММ. Ее синтаксис таков: =СУММ([число]; [число]). С ее помощью складываются отдельные ячейки с данными.
Решение в режиме отображения формул:
Выполнение данного задания вручную выглядит примерно так:
С= =
Задача № 2
Найти результат умножения матрицы B на число 2
Решение с помощью встроенных функций Excel выглядит так:
Решение в режиме отображения формул:
Выполнение данного задания вручную
2B= =
Задача № 3
Найти произведение A(A+B) матриц А и A+B;
Из задачи №1, решение для сложения двух матриц A и B с помощью Excel будет выглядеть так:
Затем производим умножение матрицы А на сумму матриц С:
В данной задаче была применена встроенная функция МУМНОЖ.
Синтаксис таков: =МУМНОЖ(массив1; массив2).
Данная функция возвращает матричное произведение двух массивов данных, причем результат имеет то же число строк, что и первый массив, и то же число столбцов, что и второй массив.
Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:
Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:
А) Находим матрицу А+B (см. Задача №1);
Б) Находим матрицу А(А+B)
A= С
=
D= *
=
=
Задача № 4
Найти матрицу (A+B)-1 обратную к матрице A+B;
Из задачи №1, решение для сложения двух матриц A и B с помощью Excel будет выглядеть так:
Находим матрицу, обратную матрице С и ее определитель:
Для нахождения обратной матрицы С, была использована функция МОБР. Ее синтаксис таков: =МОБР(массив). Данная функция возвращает массив данных, но с уже измененными значениями.
Для нахождения определителя матрицы С в данном случае была использована функция МОПРЕД. Синтаксис таков: =МОПРЕД(массив). С помощью этой функции можно быстро и точно рассчитать определитель матрицы.
Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:
Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:
А) Находим матрицу А+B (см. Задача №1);
Б) Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы С и составляем новую матрицу D:
C=
A11= = 105; A12=
= -82; A13=
= 180;
A21= = 0; A22=
= -5; A23=
= 30;
A31= = 0; A32=
= -14; A33=
= 0;
D=
В) Находим определитель матрицы С:
С| = 2 + 0 -7
= 210;
Г) Находим обратную матрицу D, путем умножения матрицы D на определитель матрицы С и округления получившихся значений:
=
Задача № 5
Найти определитель матрицы A+B;
Из задачи №1, решение для сложения двух матриц A и B с помощью Excel будет выглядеть так:
Находим определитель матрицы С:
Для нахождения определителя матрицы С в данном случае была использована функция МОПРЕД. Синтаксис таков: =МОПРЕД(массив). С помощью этой функции можно быстро и точно рассчитать определитель матрицы.
Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:
Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:
А) Находим матрицу А+B (см. Задача №1);
Б) Находим определитель матрицы С:
С| = 2 + 0 -7
= 210;
Задача № 6
Найти матрицу (A+2B)T транспонированную к матрице A+2B.
Из задачи №2 решение для умножения матрицы B на число 2 будет выглядеть так:
Решение для сложения двух матриц A и 2B с помощью Excel будет выглядеть так:
Здесь использована функция СУММ. Ее синтаксис таков: =СУММ([число]; [число]). С ее помощью складываются отдельные ячейки с данными.
Находим транспонированную матрицу С:
В данном случае использовалась функция ТРАНСП. Ее синтаксис таков: =ТРАНСП(массив). С помощью этой функции можно быстро транспонировать матрицу.
Решение в режиме отображения формул:
Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:
А) Находим матрицу 2B (см. Задача №2);
Б) Складываем матрицы (A+2B)
С= =
;
В) Находим транспонированную матрицу С:
С=
Задача № 7
Для данных матриц А и В решить матричное уравнение A= AX = B
Путем решения буквенного уравнения, получаем AX=B –>
X=A(-1)B.
Из этого следует, что необходимо найти обратную матрицу А и умножить ее на матрицу B. Полученный результат и будет решением данного уравнения.
С помощью Excel, найдем обратную матрицу А:
Для нахождения обратной матрицы С, была использована функция МОБР. Ее синтаксис таков: =МОБР(массив). Данная функция возвращает массив данных, но с уже измененными значениями.
Решение для умножения двух матриц С и B с помощью Excel будет выглядеть так:
Здесь использован символ *, который означает умножение числа на число. Ее синтаксис таков: =[число]*[число]. С помощью данного символа возможно умножать не только отдельные ячейки, но также и целые массивы данных.
Решение в режиме отображения формул:
Таким образом, найдена матрица Х
Х=
Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:
А) Находим определитель матрицы С:
С= = |С| = 1
+ 0 + 9
= 182;
Б) Находим обратную матрицу С:
С= =
;
В) Умножим матрицу С на матрицу B и получим ответ в виде матрицы Х:
B= ; С=
Х= =
= .
Лабораторная работа №2.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Цель работы:научиться интерполировать функции, используя для упрощения расчётов математические функции программы Microsoft Excel.
Задача работы: найти интерполяционный многочлен P3(x) третьей степени функции y = f(x), заданной таблицей
x | -1 | |||
y |
ХОД РАБОТЫ
Для выполнения поставленных задач с помощью ЭВМ, целесообразно использовать табличный процессор Microsoft Excel 2007. С помощью различных математических формул, встроенных в данный программный продукт, возможно проводить математические расчеты с участием матриц. Данные для выполнения работы выбраны согласно необходимым критериям
Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений (xi,yi). Это означает, что дискретному множеству аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений функции {yi} (i =0,1,2,...,n). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные.
Задача интерполирования обычно ставится в следующей форме: найти аналитическую зависимость определенного вида, которая принимает заданные значения в заданных узлах. Этот процесс может быть назван аналитической заменой. Классический численно-аналитический подход заключается в том, что табличная зависимость заменяется многочленом, с которым легко можно выполнить любые действия.
Определим многочлен Pn(x) = c0xn+ c1xn-1+ ... + cn-1x+ cn,
значения которого в точках xi (i = 0,1,..., n) совпадают со значениями данной функции, т.е. Pn(xi) = yi(xi). Геометрически это означает, что нужно найти кривую вида y = Pn(x) , график которой проходит через заданное множество точек.
Многочлен Pn(x) называется интерполяционным многочленом. Точки (xi, yi) называются узлами интерполяции. Доказано, что в указанной постановке задача интерполирования всегда имеет единственное решение.
Интерполяционные формулы обычно используются при нахождении неизвестных значений f(x) для промежуточных значений аргумента.
Поставленная задача отыскания многочлена Pn(x) может быть решена путем различных подходов. Из условия Pn(xi) = yi, имеем систему
, (i = 0,1,2,....,n).
Нахождение искомых коэффициентов сводится к решению системы (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными. Эта система имеет единственное решение, если значения xi отличны друг от друга.
Интерполяционный многочлен P3(x) третьей степени функции y = f(x) имеет вид: P3(x) = Ax3+Bx2+Cx+D.
Для нахождения коэффициентов A, B, C, D необходимо решить систему c помощью электронных таблиц. Задав матрицы Х и Y, следует воспользоваться функциями Excel.
Проделав необходимые манипуляции, получаем таблицу данных:
Затем, с помощью встроенной функции Excel для нахождения обратной матрицы Х МОБР, найдем обратную матрицу Х. Ее синтаксис таков: =МОБР(массив). Данная функция возвращает массив данных, но с уже измененными значениями. Затем с помощью функции МУМНОЖ, перемножаем обратную матрицу и значения матрицы Y. В результате получаем следующее:
Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:
Итак, решив данную систему, получаем искомый многочлен
P3(x) = – 0,95x3 + 0,083x2 +4,1x +3
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
После окончательного выполнения двух лабораторных работ, становится ясно, что действия, необходимые для получения результата можно выполнять не только вручную, но и программно.
Таким программным средством, позволяющим выполнять задачи по решению различного рода уравнений, матриц и т.д., является программный продукт Excel 2007. Помимо прочего, он также позволяет оптимизировать и ускорить работу над заданиями. Безусловно, выполняя сложные математические расчеты на бумаге, с использованием только калькулятора и справочника формул, есть вероятность допустить грубейшую ошибку, что, несомненно, скажется на окончательном результате вычислений. Но благодаря Excel 2007, можно практически исключить появление ошибок и скорректировать результаты расчетов.
Таким образом, можно сделать вывод, что современные средства обработки математической информации являются наилучшим подспорьем в случае необходимости вычисления больших объемов математической информации.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник/ Под. ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001.
2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Excel. Сборник примеров и задач. – М.: Финансы и статистика. 2003.
3. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
4. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1983.