Пример 2

Зададим функцию f(x).

Q- множество всех рациональных чисел.

Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси: то есть между двумя любыми рациональными числами всегда найдется иррациональное и наоборот.

Зададим функцию в окрестности точки x₀=0.

(так как 0 рациональное)

Пусть -любое рациональное число.

Пусть - любое иррациональное число.

Это означает, что функция f(x) не будет являться непрерывной в окрестности точки 0, посмотрим, будет ли существовать производная в этой точке.

Это означает, что производная в точке x=0 существует.

Значит, функция f(x) разрывна во всех точках, кроме x=0, а значит и в окрестности точки x=0, несмотря на то, что имеет в ней производную.

Таблица производных и свойства производных.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Пример.