Дифференциальные уравнения

Опред. Обыкновенным дифф. уравнениемназывают уравнение, связывающее независимую переменную х,искомую функциюу=у(х)и ее производные у′, у′′,…, уⁿ,т.е. уравнение вида

F(х, у, у′, у′′,…, уⁿ) = 0.

Опред. Порядкомдифф. уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Задача.

Найти решение дифф. уравнения (т.е. функцию у), которая удовлетворяет уравнению у′ = f(х).

Данное уравнение решается в теории неопределенных интегралов:

у = ∫f(х)dх

у = F(х) + С .

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

В общем случае дифф. ур. второго порядка можно записать в виде F(х; у; у′, у′′) = 0, где у = у(х) – искомая функция, у′ = у′(х) и

у′′ = у′′(х) – ее производные по х первого и второго порядков, а F – заданная функция переменных х; у; у′, у′′.

Дифф. ур. видау′′ + ру′ + qу = f(х) (1),где р и q – некоторые числа, называют дифф. ур. второго порядка.

Если f(х)≡0, то уравнение (1) называется однородным.

Для решения однородного дифф. ур. второго порядка составляется характеристическое уравнение, которое имеет вид λ² + pλ + q = 0.

Характеристическое уравнение получается заменой у′′ на λ², у′ на

λ , q на 1.

Решая данное квадратное уравнение, находим λ1 и λ2.

Возможны три случая:

λ1 ≠ λ2 действ., разл. корни λ1 = λ2 = λ λ1,2 = α ± βi компл., разл. корни
у0 = С1е λ1х + С2 е λ2х у0 = (С1 + С2х) е λх у0 = еαx1cosβx + С2sinβx)

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Теория вероятностей.

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Статистика.

Закон распределения случайной величины удобно записывать в виде таблицы.

На первой строчке записывается значение случайной величины, а на второй – вероятность наступления события.

n

∑ pi = 1.

I=1

Математическим ожиданием случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений, т.е.

n

МХ = ∑ xipi

i=1

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсию находят по формуле:

ДХ = М(Х2) – (МХ)2

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Ряды.

Пусть задана числовая последовательность аn , nЄN, тогда выражение а12+ …+аn +… называется числовым рядом и обозначается ∞

∑ аn

n = 1

Числа а1, а2, …аn называются членами ряда, соответственно

первым, вторым и т.д. аn называется п-м или общим членом ряда,

S1 = а1 , S2 = а12 , …., Sn = а12+ …+аn … называют частичными суммами ряда.

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Если частичная сумма ряда Дифференциальные уравнения - student2.ru при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится Дифференциальные уравнения - student2.ru к или Дифференциальные уравнения - student2.ru ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение Дифференциальные уравнения - student2.ru при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Так называемый обобщенный гармонический ряд Дифференциальные уравнения - student2.ru сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

Дифференциальные уравнения - student2.ru

выполняется условие Дифференциальные уравнения - student2.ru , то ряд сходится при Дифференциальные уравнения - student2.ru и расходится при Дифференциальные уравнения - student2.ru .

Признак Даламбера не дает ответа, если Дифференциальные уравнения - student2.ru .

Признак сравнения.

∞ ∞

Пусть для рядов ∑ аn и ∑вn выполняется условие: существует N

n=1 n=1

такое что 0 ≤ аn ≤ вn для всех n ≥N.

Тогда, если ряд вn сходится, то и ряд аn сходится.

Если же ряд вn расходится, то и ряд аn расходится.

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Если члены ряда :

числа, то ряд называется числовым;

числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

функции, то ряд называется функциональным;

степени, то ряд называется степенным;

тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Дифференциальные уравнения - student2.ru

Наши рекомендации