Выбор знака неравенства в альтернативной гипотезе

1. Сравнение генеральных средних.

а) Если по данным выборочного обследования , то в гипотезеН₁нужно взять знак «>» или «¹». При этом, если выборки малые, необходимо учитывать также значение заданного в условии задачи уровня значимости a. Например, если a=0,1, то надо брать знак «¹», так как в таблице распределения критических точек.

Стьюдента приведены значения t_кр (a, k)только для двусторонней критической области.

Пусть a =0,005. В гипотезеН₁ надо взять знак «>», так как значения t_кр (a, k) даны в таблице только для односторонней критической области.

Если a=0,01, то в гипотезе Н₁можно поставить знак «>» или «¹», потому что значения t_кр (a, k) приведены в таблице как для односторонней, так и для двусторонней критических областей.

б) Если , то в гипотезеН₁ берется знак «<» и «¹». При малых выборках необходимо руководствоваться пояснениями, приведенными выше.

2. Сравнение генеральных дисперсий.

а) Пусть по условию задачи . В гипотезе Н₁ надо взять знак «>» или «¹». В первом случае по таблице распределения критических точек Фишера – Снедекора находится F_кр (a, k₁ , k₂), во втором случае F_кр (a/2, k₁ , k₂). Поэтому при выборе знака неравенства необходимо принимать во внимание значение заданного уровня значимости a, так как в данном методическом пособии приведены значения F_кр при a=0,05, 0,025; 0,01; 0,005.

б) Если , то в гипотезе берется знак «¹». Знак «<» брать нельзя, так как в этом случае критическая область будет левосторонняя и F_наб (F_наб всегда больше единицы) никогда не попадет в критическую область, т.е. вероятность попадания в критическую область равна нулю. Это противоречит условию задачи. Действительно, вероятность отвергнуть правильную нулевую гипотезу, т.е. вероятность того, что F_наб попадет в критическую область, равна заданному значению a.

3. Сравнение генеральной средней со стандартом. Для выбора знака неравенства в гипотезе Н₁ при решении этого типа задач надо руководствоваться пояснениями, приведенными в п.1. При малой выборке необходимо сначала по данным обследования найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию .

Задача 1. Для сравнения точности двух станков–автоматов по двум независимым выборкам объемов n₁ и n₂, извлеченным из нормально распределенных генеральных совокупностей Х₁ и Х₂, найдены выборочные средние квадратические отклонения σ₁ и σ₂. При уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: D₁ = D₂ при конкурирующей Н₁ : D₁ > D₂ (1-15 в.) и при Н₁ : D₁ ≠ D₂ (16-30 в). Какой из станков лучше налажен? Данные приведены в таблице.

Номер варианта	n1	n2
			0,9	0,8	0,01
			1,2	1,1	0,025
			0,8	0,6	0,01
			1,8	0,7	0,025
			0,5	0,3	0,005
			1,2	0,8	0,01
			1,6	0,9	0,05
			2,7	2,5	0,005
Номер варианта	n1	n2
			2,4	2,2	0,025
			3,1	2,5	0,05
			0,7	0,6	0,025
			0,8	0,6	0,05
			3,3	2,8	0,025
			1,7	0,8	0,01
			0,6	0,3	0,025
			1,6	3,2	0,02
			1,5	1,8	0,05
			3,1	3,6	0,02
			0,6	0,4	0,01
			1,1	2,7	0,1
			0,1	0,4	0,02
			1,3	2,2	0,05
			2,7	2,4	0,01
			2,7	2,9	0,02
			1,3	0,7	0,05
			0,9	1,2	0,1
			1,3	0,9	0,05
			0,2	0,6	0,01
			1,8	0,9	0,02
			0,5	0,4	0,01

Задача 2. Для сравнения производительности труда рабочих двух цехов экономист исследовал среднюю выработку рабочих. Обследовано n₁ рабочих в первом цехе и n₂ рабочих во втором цехе. Найдены выборочные средние и выборочные дисперсии и . Считая, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей, при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀ : при конкурирующей H₁ : (1-10 в), H₁ : (11-20 в.), H₁: х₁ ≠ х₂ (21-30 в.) Можно ли считать, что рабочие обоих цехов имеют одинаковую производительность труда? Данные приведены в таблице.

№ варианта	n1	n2	х1	х2
							0,01
							0,025
							0,005
							0,01
							0,05
							0,005
							0,025
							0,01
							0,05
							0,01
							0,025
							0,05
							0.01
							0,05
							0,01
							0,05
							0,005
							0,01
							0,05
							0,005
							0,01
							0,01
							0,05
							0,05
							0,01
							0,05
							0,01
							0,02
							0,01
							0,05

Задача 3. Для исследования влияния двух типов удобрений на урожайность пшеницы было засеяно n₁ и n₂ опытных участков. Найдены выборочные средние и . Дисперсии генеральных совокупностей соответственно равны D₁ и D₂. Считая, что урожайность пшеницы подчиняется закону нормального распределения, при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: при конкурирующей Н₁: (1-10 в), Н₁ : (11-20 в.), Н₁ : (21-30 в.) Зависит ли урожайность пшеницы от типа внесенных удобрений? Какой тип удобрений целесообразнее использовать? Данные приведены в таблице:

№ варианта	n1	n2	х1	х2	D1	D2
			26,2	25,4	9,5	8,4	0,001
			20,5	18,8	3,4	3,9	0,01
			20,6	22,8	2,0	2,5	0,05
			19,2	18,6	3,8	4,2	0,005
			22,7	21,6	2,6	2,9	0,01
			24,4	23,9	5,1	4,9	0,005
			18,7	22,1	2,3	2,8	0,01
			23,9	20,8	2,1	2,6	0,05
			19,3	18,7	4,2	4,5	0,001
			24,7	22,5	1,9	1,7	0,05
			25,1	28,3	2,7	2,6	0,05
			24,4	24,8	4,2	4,7	0,001
			25,1	28,2	2,2	2,7	0,05
			20,7	21,6	4,1	4,4	0,005
			18,4	26,5	2,2	3,4	0,05
			19,9	20,4	4,5	4,7	0,001
			23,3	25,5	2,2	2,4	0,05
			25,7	26,2	3,1	3,4	0,01
			22,4	24,2	3,7	2,3	0,05
			20,2	21,4	5,4	5,2	0,001
			23,9	23,5	1.9	1,7	0,001
			21,5	20,2	3,8	3,5	0,01
			25,5	24,5	1,6	1,4	0,05
			19,8	19,3	3,8	4,2	0,01
			27,8	26,9	4,5	4,9	0,001
			26,9	24,5	2,8	1,9	0,01
			22,3	21,1	2,1	2,6	0,05
			22,5	21,6	3,9	3,8	0,01
			21,2	20,9	3,5	3,2	0,001
			23,6	20,2	1,9	2,0	0,05

Задача 4. Стандартный вес детали, изготовленной станком–автоматом, должен быть равна а (г). Результат выборочной проверки веса n изделий приведен в таблице (колонка 5). Считая, что вес деталей подчиняется нормальному распределению, при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: = а при конкурирующей Н₁ : > а (1-10 в.), Н₁ : ≠ а (11-20 в.), Н₁ : < а (21-30 в.). Нуждается ли станок в наладке?

Номер варианта	n	a		Результат выборки
			0,01
			0,01
			0,05
			0,01
			0,05
			0,01
			0,05
			0,01
			0,05
			0,05
			0,1
			0,05
			0,1
			0,01
			0,1
			0,01
Номер варианта	n	a		Результат выборки
			0,1
			0,05
			0,1
			0,1
			0,05
			0,01
			0,05
			0,01
			0,05
			0,01
			0,05
			0,01
			0,05
			0,01

Задача 5. Размер изделия подчиняется закону нормального распределения. В результате выборочной проверки n изделий получена выборочная средняя . Генеральная дисперсия D известна. При уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀ : = а при конкурирующей Н₁ : < а (1-10 в.), Н₁ : > а (11-20 в.), Н₁ : ≠ а (21-30 в.). Удовлетворяет ли размер изделия стандарту а?

№ варианта	n	х	D	а
					0,01
					0,025
					0,05
		0,48	0,013	0,5	0,01
					0,025
		0,68	0,0125	0,7	0,05
		0,79	0,017	0,8	0,05
		0,89	0,0124	0,9	0,025
					0,02
					0,01
		0,81	0,0169	0,8	0,025
		0,82	0,018	0,8	0,01
		0,91	0,012	0,9	0,05
					0,01
					0,05
					0,02
		0,72	0,015	0,7	0,02
		0,73	0,014	0,7	0,01
					0,01
					0,025
		0,53	0,0121	0,5	0,05
		27,56	27,04		0,02
		0,63	0,0121	0,6	0,01
					0,02
					0,01
					0,025
		0,92	0,011	0,9	0,05
		27,1	26,1		0,005
		0,49	0,01	0,65	0,05
		28,3	27,5		0,01

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КФЭИ, 2001. - Гл.. 19, с. 176 – 191.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 19, №№19.12 – 19.22.

Индивидуальная работа №7

Корреляционный анализ

Методами корреляционно – регрессионного анализа изучить влияние факторного признака на результативный признак:

1) определить уравнение регрессии;

2) вычислить выборочные показатели тесноты связи между признаками;

3) проверить гипотезу о значимости показателя тесноты связи в генеральной совокупности при и ;

4) оценить показатель тесноты связи в генеральной совокупности;

5) сделать прогноз для результативного признака при значении . Варианты заданий:

1. Зависимость потребления некоторого продукта Y (кг) от среднедушевого дохода X (тыс. руб.)

X
Y	2,6	5,7	9,3	11,9	15,1	17,9

2. Зависимость веса индюшки Y (кг) от количества витаминных кормовых добавок X (мг)

X
Y	3,5	4,2	5,1	5,9	6,9	7,8

3. Зависимость среднедневной заработной платы Y (100 руб.) от среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного X (100 руб.)

X
Y	2,3	3,5	4,8	5,9	6,4	8,5

4. Зависимость себестоимости единицы продукции Y (руб./шт.) предприятия трудоемкости единицы продукции X (чел./час)

X
Y	1,8	4,5	7,1	9,2	11,2	14,5

5. Зависимость удельного постоянного расхода Y (руб.) от объема выпускаемой продукции X (тыс. шт.)

X
Y	4,5	5,7	7,3	8,6	9,5	11,4

6. Зависимость потребления материала Y (руб.) от объема производства продукции X (тыс. шт.)

X
Y	2,7	5,9	8,5	11,9	15,1	17,9

7. Зависимость среднемесячной производительности труда Y (детали/час) от количества обучений на курсах повышения квалификации X (ед.)

X
Y	2,8	8,1	13,4	19,1	23,8	29,1

8. Зависимость объема производства Y (тыс.ед.) от численности занятых X (100 чел.)

X
Y	5,1	6,4	7,6	8,9	9,9	10,8

9. Зависимость объема продаж Y (тыс.руб.) от расходов на рекламу X (тыс. руб.)

X
Y	0,3	1,5	3,3	4,6	6,1	7,5

10. Зависимость расходов предприятия Y (тыс. руб.) от объема производства X (шт.)

X
Y	0,7	2,4	4,1	5,7	7,3	8,9

11. Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, Y (%) от среднемесячной начисленной зарплаты X (тыс. руб.)

X
Y	5,3	9,6	13,3	17,8	21,8	25,9

12. Зависимость выпуска валовой продукции Y (млн. руб.) от стоимости основных фондов X (млн. руб.)

X
Y	13,3	17,6	23,4	25,0	26,4	30,1

13. Зависимость стоимости монтажа объекта Y (тыс. руб.) от расхода железобетона X (тыс. куб/м)

X
Y	12,0	16,4	18,0	21,3	23,4	28,3

14. Зависимость между стоимостью основных фондов X (млн. руб.) и численностью персонала Y (сотни чел) в машиностроении

X
Y	4,9	7,4	9,0	12,2	14,3	18,2

15. Зависимость между посевной площадью X (тыс. га) и поголовьем крупного рогатого скота Y (кол-во голов)

X
Y

16. Зависимость между денежными средствами, вложениями в программное обеспечение станка с ЧПУ, X (тыс. руб.) и производительностью труда рабочего Y (дет./час)

X
Y	4,4	7,1	9,8	12,3	14,9	17,5

17. Зависимость срока бесперебойной работы агрегата Y (100 суток) от частоты его профилактического ремонта X (ед./год)

X
Y	0,5	2,1	3,7	5,1	6,7	8,4

18. Зависимость прибыли предприятия Y (100 тыс.руб.) от количества сотрудников, прошедших переподготовку X (10 чел.)

X
Y	7,8	11,1	14,2	17,3	20,4	23,6

19. Зависимость поголовья овец в стаде Y (100 голов) от количества охраняющих их сторожевых овчарок X (ед.)

X
Y	0,38	0,69	1,1	1,4	1,7	2,1

20. Зависимость количества служащих музея Y (10 чел.) от площади экспозиции X (1000 м ² )

X
Y	6,8	10,9	15,1	19,3	23,4	27,6

21. Результат наблюдений розничного товарооборота Y (млн. руб.) магазина от числа работников X

X
Y	9,1	12,8	17,1	20,9	25,2

22. Результат наблюдений среднесуточной переработки свеклы Y (тонн) от основных производственных средств X (тыс.руб.)

X
Y	2,9	5,1	6,9	8,9	11,2

23. Результат наблюдений выработки одного рабочего за смену Y (шт.) от квалификации X (разряд)

X
Y	9,9	14,2	17,8	22,1	25,9

24. Результат наблюдений зависимости урожайности Y (ц/га) от количества удобрений X (ц)

X
Y	3,1	4,8	6,8	9,1	11,1

25. Результат наблюдений зависимости производительности труда рабочего за смену Y (шт.) от стажа X (года)

X
Y	4,9	9,2	13,1	16,9	21,2

26. Результат наблюдений зависимости расходов членов семьи на одежду в квартал Y (тыс. руб.) от доходов семьи X (тыс. руб.)

X		1,5		2,5		3,5
Y	6,8	9,1	10,8	13,1	14,8

27. Результат наблюдений рентабельности Y (%) производства от фондовооруженности X (тыс. руб.)

X
Y	3,1	4,2	4,9	5,8	7,1

28. Результат наблюдений зависимости высоты ствола сосны Y (м) от диаметра X (см)

X
Y	3,2	4,1	5,0	5,9	6,1	7,8

29. Результат наблюдений зависимости электровооруженности Y (млн. руб.) от фондовооруженности X (млн. руб.)

X
Y	1,9	3,2	4,8	5,1	5,9

30. Результат наблюдений зависимости зарплаты Y (тыс. руб.) от стажа работы X (лет)

X
Y	4,8	8,1	11,2	13,9	17,1	19,9

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КФЭИ, 2001. - Гл.. 20, с. 192 – 221.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 20, №№20.2 – 20.3.