Способы нахождения центра тяжести

Симметричные тела. Если тело имеет плоскость (ось, центр) симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости (на оси, в центре).

Метод разбиения. Если тело составлено из нескольких, например, трех, частей, для каждой из которых известен вес и положение центра тяжести (рис. 13). Радиус-вектор центра тяжести тела и его координаты находят по формулам:

, ,

, , (28)

Метод отрицательных масс. Пусть надо найти центр тяжести нового тела, составленного из частей 1 и 2 (рис. 13). Его можно получить, вырезав из основного тела часть 3. Решение можно получить либо из (28), либо по формулам:

, ,

, , (29)

где – вес основного тела.

Распределенные силы

В статике рассматривают силы, приложенные к твердому телу в какой-либо его точке, и поэтому такие силы называют сосредоточенными. В действительности обычно силы бывают приложены к какой-либо части объема тела или его поверхности, а иногда к некоторой части линии. Так как все аксиомы и теоремы статики формулируются для сосредоточенных сил, приложенных к твердому телу, то необходимо рассмотреть способы перехода от распределенных сил к сосредоточенным в простейших, наиболее часто возникающих случаях.

Распределенные силы прежде всего характеризуются интенсивностью распределенной силы, т.е. силой, приходящейся на единицу объема, поверхности или длины линии.

Параллельные силы постоянной интенсивности, распределенные по отрезку прямой линии. Пусть на участке прямой линии длиной распределены параллельные силы, интенсивность которых постоянна (рис. 14).

Равнодействующая сила равна , параллельна распределенным силам и приложена вследствие симметрии распределения сил в середине отрезка .

Параллельные силы, распределенные по отрезку прямой с интенсивностью, изменяющейся по линейному закону. Рассмотрим распределенные параллельные силы, изменяющиеся по линейному закону (рис. 15). Обычно считают, что такие силы распределены по треугольнику. Параллельные распределенные по треугольнику силы приводятся к равнодействующей , по модулю равной , где – наибольшая интенсивность силы. Точка приложения равнодействующей силы смещается в сторону, где интенсивность силы больше, и совпадает с центром тяжести площади треугольника, который находится в точке пересечения медиан, расположенной на расстоянии от основания треугольника и от его вершины , т.е. .

Трение

Трение скольжения

При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила трения скольжения (трение первого рода).

Пусть на тело действует плоская система активных сил и тело находится в равновесии, соприкасаясь с шероховатой поверхностью другого тела (рис. 16).

Сила реакции шероховатой поверхности будет складываться из нормального давления , направленного по общей нормали к поверхности соприкосновения, и силы трения скольжения при покое.

Для силы трения скольжения справедливы законы Кулона:

1. Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения тела под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от активных сил и ее модуль заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, т.е.

.

2. Максимальная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того, чтобы сдвинуть, например, кирпич, надо приложить одну и ту же силу независимо от того, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой.

3. Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции), т. е.

, (30)

где безразмерный коэффициент называют коэффициентом трения скольжения; он не зависит от нормального давления.

Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, т.е. от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Коэффициент трения скольжения в зависимости от различных условий устанавливается экспериментально.

Трение качения

Если одно тело, например цилиндрический каток, катить или стремиться катить по поверхности другого тела, то кроме силы трения скольжения из-за деформации поверхностей тел дополнительно возникает пара сил, препятствующая качению катка. Явление возникновения пары сил, препятствующей качению, называют трением качения или трением второго рода.

Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 17), кроме силы тяжести обычно состоят из силы , приложенной к центру колеса параллельно общей касательной в точке , и пары сил с моментом , стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если , а , то колесо называют ведомым; если , а , то ведущим. Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе поезда.

Приведем активные силы в общем случае к точке . В этой точке получим главный вектор этих сил и пару сил, момент которой равен главному моменту (рис. 18).

При равновесии катка, т.е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваются силами реакций связи и, следовательно,

; .

Изменив активные силы, приложенные к катку так, чтобы увеличивался момент пары активных сил, стремящейся катить каток. Пока каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой величине, но противоположный по направлению момент пары сил, препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток неподвижной плоскости. Наибольшее значение достигается в момент начала качения катка по плоскости.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующей качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции :

. (31)

Коэффициент пропорциональности называют, коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода. Из формулы (31) следует, что имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости.

Решение задач статики

Пример 1.На угольник ( ), конец которого жестко заделан, в точке опирается стержень (рис. 19,а). Стержень имеет в точке неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила , а к угольнику – равномерно распределенная на участке нагрузка интенсивности и пара с моментом .

Дано: кН, , , м.

Определить: реакции в точках , , .

Решение:

1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня (рис. 19,б). Проведем координатные оси и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню, и составляющие и реакции шарнира . Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(32)

(33)

(34)

Рис. 19

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. 19,в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка (численно кН), пара сил с моментом и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими и , и пары с моментом . Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(35)

(36)

. (37)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (32)–(37), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: кН, кН, кН, кН, кН, . Знаки минус указывают, что силы , и момент направлены противоположно показанным на рис. 19.

Пример 2.Горизонтальная прямоугольная плита весом (рис. 20) закреплена сферическим шарниром в точке , цилиндрическим (подшипником) в точке и невесомым стержнем . На плиту в плоскости, параллельной , действует сила , а в плоскости, параллельной , – пара сил с моментом .

Дано: , м, м, м, м, кН, кН, .

Определить: реакции опор , и стержня .

Решение:

1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы , и пара с моментом , а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , и , цилиндрического (подшипника) – на две составляющие и (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию стержня направляем вдоль стержня от к , предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

(38)

(39)

(40)

; (41)

; (42)

. (43)

Для определения моментов силы относительно осей и разлагаем ее на составляющие и , параллельные осям и ( , ), и применяем теорему Вариньона.

Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив эти уравнения, найдем искомые реакции.

Ответ: кН, кН, кН, кН, кН, кН. Знак минус указывает, что реакция направлена противоположно показанной на рис. 20.

КИНЕМАТИКА

Кинематика точки

В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является понятие траектории. Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета. По виду траекторий движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные.

Задать движение точки – значит задать правило, с помощью которого можно указать положение точки в любой момент времени. Существуют векторный, координатный и естественный способы задания движения точки.