Процесс размножения и гибели

Частным случаем дискретного марковского процесса, описываемого уравнениями Колмогорова – Чэпмена, является процесс размножения и гибели.

Долгое время он был основным процессом для построения моделей теории массового обслуживания. (ТМО).

Он отличается от рассмотренного выше тем, что в нем допускаются переходы только в соседние состояния.

Пусть К – счетное множество состояний процесса: к = { 0, 1, 2, … , n, … } . Для простоты описания процесса удобно буквой обозначать интенсивность перехода в направлении увеличения индекса состояния, а буквой - в сторону уменьшения, а самим индексом обозначать состояние, откуда переход производится. Тогда:

l_к-1,к = l_к-1 - индекс увеличивается (переход из к-1 в к).

l_к+1,к = n_к+1 - индекс уменьшается (переход из состояния к+1 в к).

В этих обозначениях уравнение Колмогорова – Чэпмена примет вид:

- общий вид уравнения «процесса размножения и гибели».

Слагаемые правой части говорят, что попасть в состояние «к» возможно тремя путями: из предыдущего состояния (шаг вправо); из последующего (шаг влево); или остаться в том же состоянии. В последнем случае интенсивность возможного ухода из состояния имеет знак минус (см. вывод уравнений Колмогорова-Чэпмена).

Своим названием процесс обязан следующему примеру. Пусть «К» объем (число членов) некоей биологической популяции. l - интенсивность рождения нового члена популяции; n - интенсивность гибели одного из членов популяции (обычно, чем больше «к», тем больше l и n , но это не обязательно). Дополнительно предположим, что как рождение, так и гибель, могут произойти в любой момент времени (но не одновременно!), а вероятности этих событий пропорциональны и соответственно. В этом случае динамика случайной величины «К», т.е. случайный процесс К(t), будет описываться вышеприведенным уравнением.

В числе состояний процесса всегда. присутствует нулевое (крайнее слева). Уравнение для него имеет вид:

. (3.6)

В принципе число состояний процесса размножения и гибели не ограничено, но, в целях общности, его можно ограничить, например, числом n (в этом состоянии будет допустимо только уменьшение индекса). Тогда уравнение для второго крайнего состояния (правого) запишется в виде:

(3.7)

Полученные уравнения простой подстановкой решить нельзя, т.к. в правой части 3 неизвестных: P_к-1(t), P_к(t), P_к+1(t). Поэтому для исследование моделей, основанных на этих уравнениях, приходится прибегать к численным методам (см. лабораторную работу №1, «Исследование СМО методом Рунге-Кутта», задача которой определить как скоро наступает стационарный режим).

Если процесс, описывающий систему, неприводим, а состояния ненулевые и непериодические, то в нем существует стационарное или стационарное и эргодическое распределение:

Тогда, если t достаточно велико, то процесс можно рассматривать как находящийся в стационарном режиме: P(t) = P = const, и ,

Уравнение процесса размножения и гибели в стационарном режиме получит вид:

(3.8)

Для решения этой системы, используем z_k–подстановку:

Перепишем уравнение, перегруппировав его:

(3.9)

Следовательно, можно записать:

Таким образом, получили рекуррентное соотношение:

(3.10)

P₀ находится из нормирующего условия: сумма вероятностей всех состояний должна быть равна 1. Следовательно:

(3.11)

Верхний предел суммы в выражении (2) зависит от того, является множество состояний процесса конечным или счетным. Если это множество счетное, то возникает принципиальный вопрос о сходимости представленного в (2) ряда.

. Для его решения можно использовать признак Даламбера: если, начиная с некоторого к_0, отношение последующего члена ряда к предыдущему меньше единицы, то ряд сходится. В наших обозначениях:

, т.е. начиная с некоторого момента интенсивность «гибели» должна превосходить интенсивность «размножения». В противном случае процесс развивается в сторону неограниченного увеличения «к». Это означает, что нет таких состояний, которые повторялись бы с устойчивой частотой, и стационарного распределения вероятностей состояний в такой системе не существует.

Входящие потоки

Входящий поток – это поток случайных событий (поступление требований). В частном случае он может быть и детерминированным.

Формально, входящий поток можно описать как случайный процесс. (см. рис. 3.)

Здесь Х(t) – число требований, поступивших к моменту t.

Если 1= = то поток ординарный. В противном случае – это

неординарный поток (требования приходят группами, «пачками»).Для описания входящего потока необходимо знать распределение интервалов между требованиями. Отсюда можно определить среднее число требований за время t; среднюю длину интервалов между требованиями; дисперсию интервалов и т.п., т.е. обычные числовые характеристики.