Тема 14,15. Решение задач на вычисление вероятностей случайных событий

Испытание – реализация некоторой совокупности одних и тех же условий.

Событие – результат испытания (исход испытания).

Достоверным называют событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.

Невозможным называют событие, которое заведомо не может произойти.

Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Событие , состоящее в ненаступлении события в данном испытании, называется событием, противоположным событию .

Суммой конечного числа событийназывается событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий в данном испытании.

Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении каждого из событий в данном испытании.

События называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает наступление других.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из данных событий не исключает появление других в данном испытании.

События называются независимыми, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Классическое определение вероятностей. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов: .

Свойства вероятностей:

1. .

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Теоремы вероятностей:

1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .

2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .

3. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:

Факториал.Произведение называется n факториалом.

Составим таблицу факториалов.

2. Число благоприятствующих и всевозможных исходов.Число благоприятствующих и всевозможных исходов удобнее найти с помощью формул комбинаторики. Для этого необходимо правильно определить характеристики: повторение элементов, порядок расположения элементов, изменение состава элементов в выборке.

Размещения		Перестановки		Сочетания
характеристики выборок
состав элементов изменить можно, порядок расположения элементов важен		состав элементов изменить нельзя, порядок расположения элементов важен		состав элементов изменить можно, порядок расположения элементов не важен
без повторений:		без повторений:		без повторений:
с повторениями:		с повторениями:		с повторениями:

1. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Решение.

Испытание – вынимают карточки с буквами в случайном порядке без возврата.

Событие А – получилось слово МАТЕМАТИКА.

Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно составить слова из букв М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К, А;

Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно составить слово МАТЕМАТИКА.

Число всевозможных исходов есть перестановки с повторениями:

.

Число благоприятствующих исходов равно 1, так как единственный благоприятный исход – когда получилось нужное слово:

Таким образом, .

Вывод. С вероятностью можно утверждать, что получится слово МАТЕМАТИКА.

2.Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что получится слово «ТЕМА».

Решение.

Испытание – вынимают 4 карточки из 10.

Событие А – получилось слово ТЕМА.

n: Сколькими способами можно составить четырёхбуквенные слова из букв М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К, А;

m: Сколькими способами можно выбрать букву «т», букву «е», букву «м» и букву «а».

Число всевозможных исходов есть размещение без повторений:

Число благоприятствующих исходов: (2 способа выбрать букву «т», 1 - букву «е», 2 - букву «м» и 3- букву «а»).

Таким образом, .

Вывод.С вероятностью можно утверждать, что получится слово ТЕМА.

3.В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение.

а) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров 2 белых.

Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 2 белых и 2 чёрных шара.

Здесь порядок расположения шаров не важен, поэтому количество способов будем искать по формуле сочетания:

Таким образом, .

Вывод. Вероятность того, что среди вынутых имеется 2 белых шара, равна .

б) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров меньше чем 2 белых шара. Это событие состоит из двух несовместных событий:

– среди вынутых шаров только 1 белый и 3 чёрных шара,

– среди вынутых шаров нет ни одного белого и все 4 шара черные.

Так как события и несовместны, то .

Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 1 белый и 3 чёрных шара или 0 белых и 4 чёрных шара.

Используя формулы комбинаторики, получим:

Таким образом, .

Вывод. Вероятность того, что среди вынутых имеется меньше чем 2 белых шара, равна .

в) Испытание – вынимают 4 шара из 11.

Событие – среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 чёрных ( ), 2 белых и 2 чёрных ( ), 3 белых и 1 чёрный ( ), 4 белых ( ).

Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.

Рассмотрим противоположное событие – среди вынутых шаров нет ни одного белого. Значит все вынутые 4 шара чёрные.

Всевозможные исходы, n: Сколькими способами можно вынуть 4 шара из 11.

Благоприятствующие исходы, m: Сколькими способами можно вынуть 4 чёрных шара.

Используя формулы комбинаторики, получим:

Таким образом, , .

Вывод. Вероятность того, что среди четырёх вынутых шаров нет ни одного белого, равна .