Лаплас түрленуінің қасиеттері , болсын

Шешуі

Егер төмендегі үш шарт орындалса, онда нақты t аргументінің кез-келген функциясы f(t) түпнұсқа деп аталады:

1) t 0 болғанда f(t) бөлікті үзіліссіз;

2) t<0 болғанда f(t)=0 ;

3) , мұндағы М>0, -тұрақтылар.

а) функциясы төмендегі шарттар орындалатындықтан түпнұсқа болады:

1) Функция үзіліссіз;

2) 2 – шарт орындалады; 3) , себебі М=1, .

б) функциясы түпнұсқа болмайды, өйткені болмағанда екі шарт орындалмайды: 1) нүктесі оның екінші ретті үзіліс нүктесі;

2) t<0 болғанда , себебі көбейткіші жоқ.

2-3 Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін пайдалана отырып f(t) функцияларының F(p) бейнелерін анықта: a) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Шешуі

а) 1-кесте мен сызықтық теореманы пайдаланамыз: ;

б) Ұқсастық кестесі бойынша , ығыстыру теоремасы бойынша ;

в) 1 – кесте бойынша 1 , кешігу теоремасын қолданамыз ;

г) Берілген функцияны түрлендіреміз . Енді

1 – кесте мен сызықтық теореманы пайдаланамыз ;

д) . Бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша ; е) . Оригиналды интегралдау теоремасы бойынша ;

ж) болғандықтан, бейнені интегралдау теоремасы бойынша .

4 Түпнұсқаның берілген графигі бойынша бейнені табу керек.

Шешуі.

Үзіліс немесе өзгеріс болатын нүктелерді арқылы; үзіліс нүктелеріндегі секірісті арқылы; бөліктегі бұрыштық коэффициенті арқылы (мұндағы ) белгілейміз. Бұл түрдегі функциялардың бейнесін формуласы арқылы табу керек

Бұл есепте:

Сондықтан,

5. t және функцияларының үйірткісін және оның бейнесін анықтау керек.

Шешуі

f(t) және g(t) формуласының үйірткісі формуласымен табылады. Сондықтан . Үйірткінің бейнесін 1- кесте және сызықтық теорема бойынша табамыз: .

6. Бейнелерді көбейту теоремасын қолданып, , функциясының үйірткісін табу керек.

Шешуі

Көбейту теоремасы бойынша, егер болса, онда . Сондықтан, .

7 Берілген бейнесі бойынша түпнұсқасын табу керек.

а) б)

Шешуі.

а) Рационалды – бөлшек функцияны қарапайым бөлшектерге жіктейміз:

болғанда:

алдындағы коэффициенттерді теңестірсек бос мүшенің алдындағы коэффициенттерді теңестірсек

Сондықтан,

1 – кесте бойынша:

Сондықтан:

б) 1 – кесте бойынша Түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланамыз:

8. Коши есебін амалдық тәсіл бойынша шешу керек.

Шешуі.

болса, түп нұсқаны дифференциялдау теоремасы бойынша:

Сондықтан: берілген теңдеудің операторлық теңдеуі болады. Бұдан

Ұқсастық кестесі бойынша - бейнесінің түпнұсқасын көбейту теоремасы бойынша табуға болады:

Сондықтан берілген теңдеудің шешімі:

9. Анықтамасын пайдаланып, функцияның бейнесін табу керек.

Шешуі

Анықтама бойынша f(t) функцияның бейнесі деп теңдеуімен анықталатын F(p) формуласын айтады. Сондықтан .

10. функциясының бейнесін дифференциалдау теоремасын қолдану арқылы табу керек.

Шешуі

, болғандықтан . Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы бойынша . Сондықтан, , бұдан .

11. Коши есебінің шешуін Дюамеля формуласының көмегімен табу керек: .

Шешуі

көмекші теңдеуін құрып, оны операторлық тәсілмен шешеміз операторлық теңдеу. Оның шешуі - . Белгілі тәсілдер арқылы оның түпнұсқасын табамыз . Берілген теңдеудің шешуін анықтау үшін формуласын қолданамыз. болғандықтан, =

12. Амалдық тәсіл арқылы дифференциалдың теңдеулер жүйесін шешу керек

Шешуі.

, болсын. Лаплас түрлендіруін, 1 – таблицаны және алғашқы шарттарды пайдаланып операторлық жүйені құрамыз:

Оны Крамер ережесі бойынша шешеміз:

x(t) және y(t) - түпнұсқаларын анықтау үшін және функцияларын қарапайым функциялардың қосындысына жіктейміз:

Белгілі тәсіл бойынша: A=-1, B=0, C=1, D=-1,A₁=-2,B₁=0,C₁=2,D₁=-2.

Сондықтан,

Жауабы:

Анықтама материалы

Лаплас түрленуінің қасиеттері , болсын

1. (сызықтық теоремасы)

2. (ұқсастық теоремасы )