Изоморфизм линейных пространств

Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L1, что для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия: j(а + в) = j(а) + j(в), j(lа) = lj(а).

Отображение j называется изоморфизмом.

Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.

Определение 25. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L1, что для любых векторов а и в из L и любых элементов l, m Î Р выполняется условие: j(lа + mв) = lj(а) + mj(в).

Свойства изоморфизма.

1. j(0) = 01, где 0 и 01 – нулевые вектора в пространствах L и L1 соответственно.

2. Если а1, а2, … , ак – любая система векторов из L и j(а1) = а11, j(а2) = а21, … , j(ак) = ак1, то j(a1а1 + a2а2 + … + aкак) = a1а11 + a2а21 + … + aкак1.

3. Если а1, а2, … , ак –линейно независимая система векторов из L и j(а1) = а11, j(а2) = а21, … , j(ак) = ак1, то система векторов а11, а21, … , ак1 – линейно независима в L1.

4. Если а1, а2, … , ак –линейно зависимая система векторов из L и j(а1) = а11, j(а2) = а21, … , j(ак) = ак1, то система векторов а11, а21, … , ак1 – линейно зависима в L1.

5. Если L – n-мерное линейное пространство, то L1 – тоже n-мерное линейное пространство.

6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L1.

Примеры изоморфных пространств.

1. Арифметическое линейное пространство Аn над полем Р изоморфно пространству многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р.

2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности n2 над полем Р.

V. РАНГ МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ранг матрицы

Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = Изоморфизм линейных пространств - student2.ru произвольная матрица размерности m ´ n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m-мерныйвектор из m-мерного арифметического пространства Аm. Тогда система столбцов матрицы будет системой m-мерныхвекторов а1 = (а11, а21, … , аm1), а2 = (а12, а22, … , аm2), … , аn = (а1n, а2n, … , аmn).

Определение 26. Столбцевым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.

По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n-мерный вектор из n-мерного арифметического пространства Аn .

Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.

Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.

Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а1, … , ак, ак+1, … , аn . Векторы а1, … , ак линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым столбцом с номером к +1, к + 2, … , n и любой

а1, … , ак, ак+1, …, аn А = Изоморфизм линейных пространств - student2.ru строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то этобудет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель Изоморфизм линейных пространств - student2.ru равнее нулю при любом s, равном к + 1, … , n и любом р, равном 1, 2, … , m .
Изоморфизм линейных пространств - student2.ru = 0. Разложим Изоморфизм линейных пространств - student2.ru по последней строке, получим Изоморфизм линейных пространств - student2.ru Так как М ¹ 0, то Изоморфизм линейных пространств - student2.ru .

Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения Ар1, … , Арк не меняются при изменении номера строки р. Следовательно, аs = Изоморфизм линейных пространств - student2.ru а1 – … – Изоморфизм линейных пространств - student2.ru ак . Итак, любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.

Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А станут векторами-столбцами транспонированной матрицы АТ. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и АТ один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.

Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:

Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).

Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к-го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.

Пример. Найти ранг матрицы А = Изоморфизм линейных пространств - student2.ru в зависимости от b.

Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А1 = Изоморфизм линейных пространств - student2.ru . Из миноров второго порядка только один Изоморфизм линейных пространств - student2.ru не содержит b, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М1 = Изоморфизм линейных пространств - student2.ru При b = 0 матрица А1 имеет вид Изоморфизм линейных пространств - student2.ru . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если Изоморфизм линейных пространств - student2.ru , то М1 ¹ 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М1 можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М2 = Изоморфизм линейных пространств - student2.ru . Так как Изоморфизм линейных пространств - student2.ru , то М2 ¹ 0. В матрице А1 миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A1 = 3.

Итак, при b = 0 rang A, при b ¹ 0 rang A =3.

Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.

Наши рекомендации