Двовибірковий критерій М.В.Смірнова
Нехай – вибірка з неперервно розподіленої генеральної сукупності з функцією розподілу
, а
– вибірка з неперервно розподіленої генеральної сукупності з функцією розподілу
. Потрібно перевірити нульову гіпотезу
про співпадання розподілів обох вибірок. Для її перевірки М.В.Смірнов запропонував статистику
де
і
- емпіричні функції розподілу обох вибірок.
Розподіл статистики не залежить від гіпотетичних розподілів
і
, а при досить великих
і
випадкова величина
має розподіл А.М.Колмогорова. Критична область
, де
знаходимо з таблиці 6 у додатку.
Приклад. 4.11. При експертній оцінці вагомості факторів „Операції з дочірними підприємствами” та „Форма розрахунків на підприємстві”, які впливають на внутрішньогосподарський ризик, групою з 20 експертів отримано наступні результати:
Для рівня значущості перевірити нульову гіпотезу
про співпадання розподілів оцінок обох факторів.
Розв’язок. Обчислення проведемо, використовуючи таблицю 4.4.
Таблиця 4.4.
хі | yi | ![]() | ![]() | ![]() |
0,05 0,05 0,25 0,45 0,5 0,9 0,9 0,9 0,95 | 0,05 0,1 0,15 0,35 0,55 0,9 0,95 | 0,05 0,1 0,1 0,05 0,05 0,1 0,05 |
Максимальне значення відхилення дорівнює 0,1. Тоді . З таблиці 6 у додатку знаходимо
як розв’язок рівняння
. Оскільки 0,316<1,36, то гіпотеза приймається.
Критерій Колмогорова
Якщо обмежимося випадком, коли випадкова величина (ознака) x в генеральній сукупності є неперервною, то задачу про перевірку гіпотези H0 ((4.5) або (4.10)) про розподіл для неї можна розв’язати і з допомогою іншого критерію узгодження, а саме, критерію Колмогорова.
Ідея його побудови полягає в наступному.
За міру відхилення теоретичних даних від емпіричних вибирають запропоновану А.М. Колмогоровим випадкову величину t у вигляді
, (4.16)
де – емпірична функція розподілу, а
– теоретична функція розподілу, яка задається гіпотезою.
І, що найважливіше, розподіл випадкової величини (4.16) відомий і визначається наступною теоремою, яку ми також наводимо без доведення.
Теорема 4.2. При розподіл випадкової величини
незалежно від виду розподілу випадкової величини x прямує до розподілу Колмогорова:
, (4.17)
де - функція Колмогорова, яка протабульована у таблиці 6 у додатку.
Виходячи зі змісту даної теореми, рівняння для визначення критичної області Wa=( ) для заданого рівня значущості a, згідно з рівнянням (4.2), запишеться у виді:
P( )=a (4.18)
або
K(ta)=1-a. (4.19)
Розв’язуючи рівняння (4.19) для заданого a, за таблицею 6 отримаємо розв’язок ta. Це дозволяє сформулювати критерій узгодження Колмогорова таким чином: нехай – точкова оцінка випадкової величини t, яка отримується на основі вибірки (x1, x2, ..., xn) з умови (4.16).
Тоді:
1. Якщо , то гіпотеза H0 відхиляється;
2. Якщо ж , то гіпотеза H0 приймається.
Приклад 4.12. Нехай результати вимірювань 1000 одиниць товару представляються у вигляді такої згрупованої вибірки:
xi | 98,5 | 99,5 | 100,5 | 101,5 |
| |||||||
ki |
Необхідно, користуючись критерієм Колмогорова, перевірити, чи узгоджуються отримані спостереження з гіпотезою про те, що похибка вимірювань x має нормальний закон розподілу з параметрами a= =100,25 i s=1, якщо рівень значущості a=0,05.
Розв’язок. Оскільки, згідно з гіпотезою H0, випадкова величина x є нормально розподіленою з параметрами a= =100,25 і s =1, то гіпотезу можна записати, як:
H0:Fx(x)= ,
де F(x) - відома функція Лапласа.
За таблицею 2 у додатку для функції Лапласа і на основі методики обчислення емпіричних функцій розподілу для заданої вибірки (4.20) побудуємо для зручності наступну таблицю:
xi | Fx(xi) | F*x(xi) | | Fx(xi)- F*x(xi)| |
98,5 99,5 100,5 | 0,012 0,04 0,105 0,226 0,401 0,598 0,773 | 0,01 0,004 0,41 0,234 0,403 0,594 0,776 | 0,002 0,004 0,006 0,008 0,002 0,004 0,007 |
101,5 | 0,894 | 0,885 | 0,009 |
102,5 | 0,959 0,987 | 0,954 0,987 | 0,005 0,000 |
з якої випливає, що максимальне значення різниця |Fx(xi)- F*x(xi)| приймає при xi=101,5 і дорівнює 0,009. Отже, точкова оцінка , а
За таблицею 6 для функції Колмогорова для заданого рівня значущості a=0,05 отримаємо t0,05=1,38.
Таким чином, , а, отже, згідно з критерієм Колмогорова, який сформульований вище, робимо висновок, що дану гіпотезу можна прийняти.
Розглянемо тепер приклади параметричних гіпотез.
ПАРАМЕТРИЧНІ ГІПОТЕЗИ