Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

При движении твердого тела с двумя неподвижными точками и (рис. 10.4) все точки на прямой остаются неподвижными. Это следует из условия неизменяемости расстояний между точками твердого тела. Прямая называется осью вращения, а движение тела называется вращательным. Нетрудно видеть, что все точки тела описывают дуги окружностей с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения.

Возьмем на оси вращения две точки и и введем систему координат с началом в точке (рис. 10.5). Так как положение точек и нам известно, то положение тела будет полностью определено, если мы будем знать в любой момент времени положение какой-либо точки тела (не лежащей на оси вращения). Из трех координат этой точки независимой будет только одна, так как расстояния и постоянны и координаты точки связаны двумя уравнениями:

,

.

Отсюда следует, что положение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром.

Направим ось неподвижной системы координат по оси вращения тела. Введем подвижную систему координат , жестко связанную с телом, ось которой так же направим по оси вращения (рис. 10.6). Положение тела будет полностью определено, если задан угол между неподвижной плоскостью и подвижной плоскостью (жестко связанной с телом) (рис. 10.6). Этот угол называется углом поворота тела.

Для однозначного определения положения тела необходимо знать не только величину, но и направление отсчета угла . Условимся считать положительным направлением отсчета направление против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси .

Характер вращательного движения твердого тела целиком определяется заданием угла его поворота как функции времени. Главными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом будут угловая скорость и угловое ускорение. Рассмотрим эти понятия.

Пусть в момент времени угол между неподвижной полуплоскостью и подвижной полуплоскостью равен , а в момент времени равен . Это значит, что за промежуток времени подвижная плоскость, а следовательно, и тело повернулись на угол .

Отношение угла поворота к промежутку времени , за который тело повернулось на этот угол, называется средней угловой скоростью тела за промежуток времени : . Предел этого отношения при называется угловой скоростью тела в данный момент времени

. (10.5)

Абсолютное значение угловой скорости будем обозначать через , т. е. . Если угол поворота измеряется в радианах, а время – в секундах, то единицей измерения угловой скорости будет . В технике часто при равномерном вращении тела пользуются числом оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту определяется по следующей формуле: , где – число оборотов в минуту.

Пусть теперь в момент времени угловая скорость вращения равна , а в момент равна ; тогда за промежуток времени приращение угловой скорости будет равно .

Средним угловым ускорением тела за промежуток времени будем называть отношение приращения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, т. е. .

Предел этого отношения при называется угловым ускорением тела в данный момент времени

. (10.6)

Угловое ускорение, характеризующее изменение угловой скорости с течением времени, равно производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота. Единица измерения углового ускорения – .

Введём в рассмотрение понятия вектора угловой скорости и вектора углового ускорения.

Вектором угловой скорости твердого тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, мы будем называть вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

Учитывая ранее введенное определение направления положительного отсчета угла , вектор угловой скорости можно определить по формуле

, (10.7)

где – единичный вектор оси .

Вектором углового ускорения будем называть вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, т: е.

. (10.8)

Из формулы (10.8) следует, что вектор направлен, как и вектор , вдоль оси вращения. Величины и представляют проекции векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения.

Перейдем к нахождению скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Пусть единичные векторы координатных осей , , , соответственно будут , и (рис. 10.7). Радиус-вектор произвольной точки можно представить в виде

, (10.9)

где , , – координаты точки (постоянные величины).

Скорость точки будет равна

. (10.10)

Так как вектор неподвижен, то . Производные векторов и уже вычислялись при рассмотрении движение точки в полярной системе координат. Если обозначить и , то формулы (9.15) и (9.16) (предыдущей лекции) примут вид

, .

Подставляя в формулу (10.10) эти производные и учитывая, что , получим . Отсюда следует, что проекции вектора скорости точки на оси , и соответственно равны , , .

Так как векторное произведение имеет те же проекции на оси , и , что и вектор скорости , то имеем

. (10.13)

Таким образом, скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

Из формулы (10.13) следует, что , т. е. модуль скорости любой точки твердого тела равен произведению модуля угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения. Направлен же вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка , в сторону ее движения.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства (10.13), получим

.

Но – угловое ускорение, а

– скорость точки . Тогда

.

Вектор направлен по касательной к траектории точки (к окружности радиуса ), т. е. параллельно скорости (так как вектор направлен по оси вращения (рис. 10.8)). Эта составляющая ускорения является касательным ускорением точки тела. В дальнейшем будем называть эту составляющую вращательным ускорением, т. е.

.

Численное значение вращательного ускорения равно .

Вектор направлен в плоскости окружности радиуса от точки к точке , т. е. направлен к оси вращения по нормали к траектории и является нормальным ускорением точки . Этот вектор , направленный к оси вращения, будем называть осестремительным ускорением.

Так как вектор перпендикулярен вектору , то численное значение осестремительного ускорения равно

.

Модуль полного ускорения точки будет

.

Угол , образованный векторами полного и осестремительного ускорений, определяется из формулы

.