Производная и дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции в точке .

Обозначение: , , , .

Таким образом,

.

(слайды 1 и 2)

Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования.

Пример. Найти по определению производную функции в точке .

.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат oxy кривая Г является графиком функции (слайд 3), точки Г. Прямая L, проходящая через точки М₀, М, называется секущей по отношению к Г. Уравнение секущей:

.

Подставляя в уравнение секущей координаты точки М, получим

угловой коэффициент секущей есть тангенс угла наклона секущей к оси абсцисс.

Пусть так, что . Если при этом секущая L стремится к некоторому предельному положению Т так, что угол между прямыми L и Т стремится к нулю, то прямая Т называется касательной к кривой Г в точке М₀. Угловой коэффициент касательной есть тангенс угла наклона касательной в точке М₀, равный пределу отношения при :

.

Геометрически производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке в абсциссой x₀ (слайд 4).

Уравнение касательной: .

Переходим к вопросу о механическом смысле производной.

Пусть материальная точка движется по оси ox (слайд 5). Положение точки определяется ее абсциссой и является функцией времени . В момент времени материальная точка находилась в точке М₀ с абсциссой . К моменту времени материальная точка переместилась в точку М с абсциссой . Путь, пройденный материальной точкой за время , составил . Отношение есть средняя скорость материальной точки за время . Если существует конечный предел , то он является мгновенной скоростью точки в момент времени . Таким образом:

.

М₀ М

· ·

0

Таким образом, с механической точки зрения, если известна функция, определяющая движение объекта, то производная от этой функции в фиксированной точке равна мгновенной скорости движения в этой точке.

То же самое относится к любому процессу – физическому, химическому, биологическому, экономическому и т. д.: если известна функция, описывающая течение этого процесса, то производная от этой функции

равна скорости течения процесса (слайд 6).

Переходим к вопросу о дифференциале функции и его геометрическом смысле.

Функция называется дифференцируемой, если

Dу = f ¢(х)Dх + a(Dх)Dх,

a(Dх) ® 0 при Dх ® 0.

Определение 2. Дифференциалом dy функции у = f(x) в данной точке называется главная линейная часть приращения Dу функции в этой точке:

dy = f ¢(x)Dx.

Применение дифференциала для приближенных вычислений основано на приближенном равенстве

Dу » dy Þ f(x + Dх) » f(x) + f¢ (x)Dх.

Геометрически, как видно из слайда 7, дифференциал функции равен той части приращения функции y = f(x), которая отсекается от этого приращения касательной, проведенной к кривой в той точке, в которой вычисляется производная и дифференциал (слайд 8).