Статистическая гипотеза о генеральной дисперсии

Пусть признак Х некоторой генеральной совокупности распределен по нормальному закону. Генеральная дисперсия неизвестна, но есть основания предполагать, что она равна некоторому значению D₀. Это значение может быть установлено теоретически или по результатам предыдущих опытов. Требуется при определенном уровне значимости проверить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии числу D₀.

Рассматриваемая гипотеза чаще всего возникает на практике тогда, когда нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и т.д. Например, если известна характеристика D₀ величины отклонения от среднего норматива времени пробега стометровки для положительной оценки, а найденная по выборке исправленная выборочная дисперсия окажется значимо больше, то для группы необходимы дополнительные тренировки.

Рассмотрим общую схему для гипотезы о генеральной дисперсии.

1. Формулируется основная гипотеза и одна из альтернативных или или .

2. Выбирается уровень значимости α.

3. Выбирается критерий – случайная величина χ², распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = n – 1.

4. Вычисляется выборочное значение критерия , где n – объем выборки, а S – исправленное среднее квадратическое отклонение.

5. Выбирается критическая область по альтернативной гипотезе Н₁, а критические точки χ²_кр. по таблице критических точек распределения «хи-квадрат», используя следующую схему

	Альтернативная гипотеза Н1
V1 – двусторонняя, несимметричная.		V1 – правосторонняя		V1 – левосторонняя
; ; ν = n – 1.		ν = n – 1.		ν = n – 1.

6. Принимается статистическое решение.

Пример 9.5. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера изделий, которая не должна превышать величину 0,1. Взята проба из 25 случайно отобранных изделий и получены следующие результаты измерений:

Контролируемый размер изделия хi	3,0	3,5	4,0	4,5
Частоты ni

Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что станок обеспечивает требуемую точность.

Решение. Применим общую схему.

1. и, очевидно, что

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ², распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 25 – 1= 24.

4. Выборочное значение ; так как справедливо следующее ;

;

.

5. По альтернативной гипотезе выбираем второй столбец схемы и определяем, что V₁ – правосторонняя критическая область. Критические точки χ²_кр. определяем по таблице критических точек распределения «хи-квадрат»: χ²_кр.(0,05; 24) = 36,4. Строим критическую область и отмечаем на оси выборочное значение

χ2кр=36,4

6. , следовательно, гипотеза Н₀ отвергается, т.е. станок требуемую точность не обеспечивает. ■

Рассмотрим еще одну задачу без текстового содержания.

Пример 9.6. Пусть из генеральной совокупности, признак которой распределен по нормальному закону, извлечена выборка объема n = 17. По значениям признака выборочных элементов найдена выборочная дисперсия D_в = 0,16. Требуется при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что генеральная средняя равна 0,18. В качестве альтернативной рассмотреть две гипотезы о том, что генеральная средняя не равна 0,18 и что меньше 0,18.

Решение. Проверку этой гипотезы проведем также по общей схеме.

1 случай.

1. и пусть

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ², распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 17 – 1= 16.

4. Выборочное значение , так как .

5. По альтернативной гипотезе выбираем третий столбец схемы, получаем V₁ – левосторонняя критическая область. Находим критическую точку χ²_кр.(1- 0,05; 16) = χ²_кр.(0,95; 16) = 7,96. Строим критическую область и отмечаем выборочное значение критерия:

χ2кр=7,96

6. , следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

2 случай.

1. и пусть

2. α = 0,05.

3. Критерий – случайная величина χ², распределенная по закону «хи-квадрат» с числом степеней свободы ν = 17 – 1= 16.

4. Выборочное значение , так как .

5. По альтернативной гипотезе выбираем первый столбец схемы, получаем V₁ – двусторонняя несимметричная критическая область. Находим критические точки

χ²_пр.кр.(0,05/2; 16) = χ²_кр.(0,025; 16) = 28,8;

χ²_лев.кр.(1-0,05/2; 16) = χ²_кр.(0,925; 16) = 6,91.

Строим критическую область и отмечаем выборочное значение критерия:

6,91

28,8

6. , следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

Рассмотренными в данной работе гипотезами далеко не исчерпывается список гипотез, необходимость в проверке которых может возникнуть при обработке и анализе статистических данных. Например, особое значение имеют гипотезы о законе распределения признака Х, для проверки которых применяются, так называемые, критерии согласия. Однако их рассмотрение выходит за рамки данного пособия.