Уточнение понятий общего и частного решений
Определение 3. Общим решением уравнения в некоторой области D плоскости
называется функция
, где C – произвольная постоянная, если выполняются следующие два условия:
1) для любого значения C функция является решением уравнения
;
2) для любой точки существует единственное значение постоянной
такое, что справедливо равенство
.
Если в общем решении зафиксирована константа C, то получившаяся функция называется частным решением. Задание начального условия позволяет определить значение постоянной C; она находится из равенства
.
В некоторых случаях процесс решения приводит не к явному выражению для общего решения, а к соотношению вида
, определяющему
как неявно заданную функцию от
. Такое соотношение называется общим интегралом ДУ. Частное решение, представленное в неявном виде, называется частным интегралом.
3. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнением с разделяющимися переменными называется ДУ вида
(6)
или вида
. (7)
Уравнение (7) приводится к виду (6) умножением обеих его частей на . Уравнение (6) решается путем разделения переменных, для чего нужно поделить левую и правую часть (6) на
. Интегрируя полученное ДУ, найдем общий интеграл уравнения (6). При разделении переменных предполагается, что
. Если функции
и
имеют нули, то постоянные
, где
, могут являться решениями ДУ (6), что проверяется их подстановкой в (6). Эти дополнительные решения не всегда содержатся в общем интеграле уравнения (6).
4. Однородное уравнение. Функция называется однородной функцией n-го измерения, если при всех
. Однородным называется ДУ одного из двух видов: 1)
, где
однородные функции одного измерения; 2)
, где
однородная функция нулевого измерения. В частности, уравнение вида
является однородным, так как
однородная функция нулевого измерения:
. Однородное ДУ интегрируется заменой
, где
новая неизвестная функция, отсюда
. После подстановки этих выражений в ДУ получим уравнение с разделяющимися переменными относительно
.
Рассмотрим уравнение вида
. (8)
При
его можно свести к однородному с помощью замен . Постоянные
и
нужно выбрать так, чтобы уничтожить свободные члены в числителе и знаменателе дроби под знаком функции
. В результате получим однородное уравнение
. В случае
ДУ (8) приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой .
5. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется ДУ вида
. (9)
Сделаем подстановку , здесь
. Имеем
; (9) запишется так:
;
. (10)
Найдем какое-либо ненулевое решение вспомогательного ДУ (это уравнение с разделяющимися переменными, и оно имеет положительное частное решение
). Подставив в (10)
, придем к уравнению с разделяющимися переменными
или
. Если
общее решение этого уравнения, то общее решение ДУ (9) найдем в виде
.
6. Линейное ДУ первого порядка. Линейное ДУ первого порядка является частным случаем уравнения Бернулли (при m=0), поэтому для его интегрирования также можно применить подстановку
.
7. Дифференциальное уравнение n-го порядка. Дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка называется уравнение вида
(11)
(при условии, что присутствует в левой части (11)),
. Решением ДУ (11) на интервале
называется любая функция
, определенная и
раз дифференцируемая на
, которая при подстановке в уравнение (11) обращает его в тождество на
. Общее решение ДУ n-го порядка – это функция
, которая при всех (допустимых) значениях
является решением данного ДУ. При подстановке в общее решение вместо
определенных числовых значений получаем частное решение ДУ. Начальные условия для ДУ n-го порядка имеют вид
, (12)
где заданные числа. Решить задачу Коши для ДУ высшего порядка – это значит найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Сформулируем теорему Коши для ДУ n-го порядка, разрешенного относительно n-ой производной
. (13)
Теорема Коши. Пусть функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные
в открытой области D пространства
. Тогда для любой точки
существует решение
задачи Коши (12), (13). Это решение единственно, т.е. если
другое решение той же задачи Коши, то
для всех
из пересечения интервалов, на которой определены
и
.
Во многих случаях решение ДУ высшего порядка можно свести к решению ДУ более низкого порядка. Рассмотрим несколько типов ДУ, допускающих понижение порядка.
10. Уравнение вида . Интегрирование по
обеих частей данного ДУ понижает его порядок на:
. Применив этот прием
раз, найдем выражение неизвестной функции
через
и произвольные постоянные
, т.е. общее решение уравнения.
20. Уравнение вида (не содержащее явным образом функцию
и, возможно, несколько ее производных порядка ниже
). Подстановкой
порядок ДУ понижается на
единиц:
. (14)
Пусть общее решение ДУ (14). Возвращаясь к функции
, получаем уравнение типа 10
, которое решается k-кратным интегрированием обеих частей.
30. Уравнение вида (не содержащее явно
). Подстановка
понижает порядок уравнения на 1, поскольку при
выражается через
:
и т.д.
Уравнение вида
(15)
называется линейным ДУ n-го порядка. Предполагается, что функции определены и непрерывны на некотором интервале
. Если
, уравнение (15) называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Рассмотрим линейное однородное ДУ
, (16)
соответствующее неоднородному уравнению (15). Известно, что ДУ (16) всегда имеет n решений , образующих линейно независимую на
систему функций. Такая система решений уравнения (16) называется фундаментальной. Это название объясняется тем фактом, что общее решение ДУ (16) имеет вид
, где
произвольные постоянные. Общее решение линейного неоднородного уравнения (15) представляется формулой
или
, где
какое-либо частное решение ДУ (15). Таким образом, для нахождения общего решения линейного неоднородного ДУ достаточно знать фундаментальную систему решений соответствующего ему однородного уравнения и одно (любое) частное решение
неоднородного уравнения. Предположим, что фундаментальная система решений
ДУ уже известна. Универсальным способом нахождения
является метод вариации произвольных постоянных, в котором частное решение (15) ищется в виде
, где
дифференцируемые функции аргумента
. Производные этих функций находятся из системы линейных уравнений
которая имеет единственное решение. Зная , можно найти
, а, значит, и
.
Как видим, при решении линейного ДУ высшего порядка ключевую роль играет фундаментальная система решений соответствующего ему однородного ДУ. К сожалению, не существует общего метода построения фундаментальной системы ДУ (16). Такой метод можно указать в случае, когда в (16) функции постоянны,
. Итак, рассмотрим линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами
, (17)
здесь
постоянные числа. Все решения ДУ (17) определены на R. Характеристическим уравнением этого ДУ называется уравнение
. (18)
Как алгебраическое уравнение n-ой степени оно имеет n (вообще говоря, комплексных) корней. Пусть все корни уравнения (18),
кратность корня
тогда
,
.
Каждому действительному корню поставим в соответствие
функций
, а каждой паре
комплексно сопряженных корней (в этом случае
) -
функций
( в частности, простому действительному корню соответствует одна функция
, а простым комплексным корням
две функции
). Полученные таким образом n функций образуют фундаментальную систему решений ДУ (17). Если требуется решить линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами
, (19)
то его частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных, а в некоторых случаях – более простым методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим две ситуации, в которых применим последний метод.
1) Правая часть уравнения (19) имеет вид многочлен (здесь и далее индекс в обозначении многочлена указывает его степень). Тогда частное решение ДУ (19) следует искать в виде
, где
кратность корня
характеристического уравнения (18),
многочлен с неопределенными (т.е. буквенными) коэффициентами.
2) Пусть в уравнении (19)
, (20)
где многочлены. Обозначим через
кратность корня
уравнения (18), а через
наибольшее из чисел
. Тогда
можно найти в виде
, в котором
многочлены с неопределенными коэффициентами.
Пояснения. 1. Если число в первой ситуации или
во второй не является корнем уравнения (18), то множитель
в выражение
не вводят (т.е. считают, что
). 2. В виде (20) может отсутствовать
(при
) или
(при
). В первом случае полагают
, во втором
. Подчеркнем, что в обоих случаях в выражение
вводят и
, и
.
Пусть правая часть уравнения (15) представляется в виде суммы нескольких функций:
, и пусть
частное решение ДУ
,
. Тогда сумма этих решений
является частным решением уравнения (15). Высказанное утверждение называется принципом суперпозиции решений и может быть использовано при решении линейных неоднородных ДУ.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
Дифференциальные уравнения 1-го порядка