Задача 1

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Факультет «Управление процессами перевозок»

Контрольная работа

по дисциплине «Основы электродинамики направляющих систем»

Выполнил: студент 4 курса

Птушко Д. А.

Шифр 0812-АТС-1188

Москва 2013 г.

Задача №1

ЗАДАЧА 1

По стальному проводу [электрическая проводимость γ = 10⁷ (Ом*м)^-1; относительная магнитная проницаемость µ = 10³] диаметром 2а = 6,04 мм течет синусоидальный ток І = 100 А частотой ƒ Гц.

Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.

Вариант численного значения частоты тока определяется по формуле:

ƒ= 1,38866 • n² Гц ,

где n — последняя цифра шифра студента

Привести вывод формул для определения плотности тока δ и напряженности Н в любой точке сечения провода, не учитывая влияния обратного провода на поле в прямом проводе. При решении задачи использовать цилиндрическую систему координат.

Решение:

Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью γ и магнитной проницаемостью μ_а

Обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени Е и Н:

и

В проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение ωε_а много меньше проводимости γ. Поэтому с большой степенью точности слагаемым

jωε_а Ев первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь.

Вектор плотности тока , записанный в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени и тока І, удобно направить в положительном направлении оси z , поэтому = z₀ .

Таким образом первое и второе уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:

=

из первого уравнения Е·γ = .

Умножим обе части второго уравнения на γ₀ : ·

или, ,

Возьмем ротор от последнего уравнения:

считая процесс течения тока установившимся, т.е. div σ = 0 и подставляя σ = z₀·σ перейдем к скалярному уравнению

которое и требуется решить в цилиндрической системе координат. Учитывая вид оператора =div grad , в этой системе координат, а также то, что σ от α и от z не зависит (из соображений симметрии), получим:

Введем обозначение q₂= ,тогда уравнение примет вид:

или

Последнее уравнение является частным случаем уравнения Бесселя относительно аргумента х = qr и функции у = δ. Его решение имеет вид:

δ=А·J₀ (qr) + ВN₀ (qr) ,

где А и В — постоянные интегрирования;

J₀ (qr) - функция Бесселя нулевого порядка первого рода;

N₀ (qr) - функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Последняя обращается в бесконечность на оси провода, т.е. при r = 0, хотя из очевидных физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому принимаем B = 0.

Следовательно, решение имеет вид:

δ=А·J₀ (qr)

Используя второе уравнение Максвелла, определим напряженность магнитного поля:

rot δ= α₀ α₀ H

Определим постоянную интегрирования А, для чего только что полученное выражение для Н, взятое на поверхности провода (при r = а) приравняем к известному выражению для Я из закона полного тока:

А=

Подставим найденное значение А в полученные выше решения для δ и Н:

;

С помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока δ и комплекс напряженности поля H в любой точке сечения провода. Радиус r может принимать значения от 0 до а. Для точек на оси провода r = 0 ; для точек на поверхности провода r = а.

Так как J₀ (0) = 1, то плотность тока на оси провода:

Введем это выражение в формулу решения: δ = δ₀ J₀ (qr).

Тогда плотность тока на поверхности провода: δ = δ₀ J₀ (qa).

Очевидно, что произведение qr есть комплексное число:

Бесселевы функции от комплексного аргумента также являются комплексными и могут быть представлены в показательной форме:

где b₀ — модуль;

β₀ — аргумент функции J₀ (qr);

b₁ — модуль;

β₁ — аргумент функции J₁(qr), которые определяются по значению помощью табл. 1.

При составлении этой таблицы наличие множителя в составе аргумента qrуже учтено.