Простые расширения числовых полей и их строение
ГДАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
В этой главе будут рассматриваться числовые поля, т.е. подполя поля комплексных чисел, хотя аналогичная теория может быть построена для любого алгебраически замкнутого поля.
До сих пор изучались, в основном, числовые поля рациональных чисел и
действительных чисел. Однако многие задачи, в том числе задача о возможности построения с помощью циркуля и линейки того или иного числа, требуют рассмотрения и других числовых полей.
Алгебраические числа и минимальные многочлены
Условимся, ради краткости, под полем понимать числовое поле, а под числом – комплексное число.
Определение 1. Пусть – некоторое поле. Число
называется алгебраическим относительно поля
(над полем
), если оно является корнем некоторого многочлена
.
Если число не является алгебраическим относительно поля
, то оно называется трансцендентным относительно
.
Замечание 1. Как известно, поле является наименьшим числовым полем (т.е. содержится в любом числовом поле). В силу особого положения этого поля алгебраические и трансцендентные относительно поля
числа называются просто алгебраическими и трансцендентными (без добавления слов «относительно поля
»).
Примеры.
1. Число есть корень многочлена
с рациональными коэффициентами и, следовательно, является алгебраическим.
2. Любое число из поля
является корнем многочлена
и, следовательно, является алгебраическим относительно
.
3. Любое число является алгебраическим относительно поля
. Действительно, если
– вещественное число, то оно является корнем многочлена
. Если
– мнимое число, то оно является корнем многочлена
.
Долгое время считали, что все числа являются алгебраическими. Только в 1851 г. Эрмит обнаружил трансцендентное число , а в 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа
. Большой вклад в теорию трансцендентных чисел внес советский математик А.О. Гельфонд в 1931-36 гг. Из его результатов в частности следует, что трансцендентными являются числа вида
, где
– целое,
– иррационально (например,
и т.д.), а также числа
.
Замечание 2. Если существует биективное отображение , то множества
и
называется равномощными. Всякое множество, равномощное множеству
натуральных чисел называется счетным. Если же множество равномощно множеству
, то говорят, что оно имеет мощность континуума. Еще Кантор показал, что множество алгебраических чисел (как и множество
) счетное, а множество трансцендентных чисел (как и множество иррациональных) имеет мощность континуума. Таким образом, трансцендентных чисел гораздо «больше», чем алгебраических.
Теорема 1. Если – алгебраическое число над полем
, то
1) существует единственный нормированный неприводимый в многочлен
, корнем которого является число
;
2) если – корень многочлена
, то
.
□1) Согласно определению 1 в кольце существует такой многочлен
, что
. Пусть
каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых над полем
многочленов из
. Так как
, то число
является корнем, по крайней мере, одного из нормированных неприводимых над полем
многочленов
. Пусть
– любой другой многочлен с теми же свойствами. Так как
и
оба неприводимы, то они либо взаимно просты, либо ассоциированы (т.е. делятся друг на друга). Но если они взаимно просты в кольце
, то они взаимно просты и в кольце
, а это противоречит тому, что они имеют общий корень
и, следовательно, в
они делятся на
. Значит
и
– ассоциированы. Но поскольку они нормированы, то они обязаны быть равными. Таким образом, многочлен
удовлетворяет требованиям 1) теоремы 1.
2) Пусть – корень многочлена
из кольца
и
– найденный выше многочлен. Так как
– неприводим, для любого многочлена
возможно лишь одно из двух: либо
и
взаимно простые, либо
. Но первое невозможно, так как
и
имеют общий корень
. Значит,
, что и требовалось доказать. ◘
Определение 2. Нормированный неприводимый многочлен , для которого алгебраическое относительно поля
число
является корнем, называется минимальным многочленом числа
, а степень минимального многочлена называется степенью алгебраического числа
.
Примеры.
4. Число является алгебраическим числом 6 степени, а минимальным для него является многочлен
(он неприводим над полем
в силу признака Эйзенштейна).
5. Всякое число является корнем многочлена
и, следовательно, является алгебраическим относительно поля
числом степени 1. Очевидно и наоборот – всякое алгебраическое относительно поля
число степени 1 принадлежит полю
.
6. Относительно поля все действительные числа имеют степень 1, а все мнимые – степень 2 (см. пример 3).
Замечание 3. Если – алгебраическое относительно поля
число степени
и поле
является расширением поля
(т.е.
), то
является алгебраическим относительно поля
числом степени
. Это следует из того, что неприводимый над полем
многочлен может оказаться приводим над его расширением. Например, число
является алгебраическим числом степени 2 над полем
(минимальный многочлен
) и алгебраическим относительно поля
числом степени 1 (минимальный многочлен
).
Теорема 2.Если неприводим над каким-либо полем
, то он не имеет в поле
кратных корней.
□ В силу закона контрапозиции достаточно доказать, что если и имеет кратный корень в
, то он приводим над полем
. Пусть
– кратный корень многочлена
. Тогда
является также корнем его производной
. Отсюда легко следует, что
принадлежит кольцу
и имеет положительную степень. Значит,
, где
, т.е.
приводим над полем
. ◘
Простые расширения числовых полей и их строение.
Напомним, что если является подполем поля
, то
называется расширением поля
. В дальнейшем мы укажем некоторые типы расширений и изучим их структуру. Начнем с так называемых простых расширений.
Пусть – фиксированное поле и
– число. Рассмотрим множество всех полей, содержащих поле
и число
. Это множество не пусто, так как само поле
комплексных чисел принадлежит этому множеству. Пересечение всех этих полей также является полем, содержащим
и
, причем это наименьшее по включению поле, содержащее
и
.
Определение 2. Пересечение всех полей, содержащих поле и число
, называется простым расширением поля
с помощью числа
и обозначается через
. Сам процесс расширения называется присоединением к полю
числа
.
Если – алгебраическое над полем
число, то
называют простым алгебраическим расширением, в противном случае – простым трансцендентным расширением поля
.
Теорема 1(о строении простого расширения).1)Простое расширение состоит из всевозможных чисел, представимых в виде частного значений многочленов из кольца
от числа
, т.е.
(1)
2) Простое алгебраическое расширение состоит из чисел, представимых в виде значения многочленов из кольца от числа
, т.е.
. (2)
□ 1) Обозначим через правую часть равенства (1). Так как
и
, в силу свойств поля
числа
,
(3)
принадлежат для любых неотрицательных чисел
и
, т.е.
.
Обратно, так как замкнуто относительно вычитания и деления, то
есть подполе поля
и, следовательно, поле. Кроме того, полагая в (3)
, получим, что
. Далее, считая в (3)
пробегающим все поле
,
, заключаем, что
. Но поскольку
– наименьшее поле, содержащее
и
, имеем включение
. Учитывая теперь доказанное выше включение
, получаем равенство
. Таким образом, справедливость равенства (1) доказана.
2) Пусть теперь – алгебраическое над полем
число и
обозначает правую часть равенства (2). Ясно, что
. Так как
замкнуто относительно вычитания и умножения, то оно является подкольцом поля
. Это кольцо коммутативное и имеет единицу. Докажем, что для каждого числа
из
обратное к нему число
также принадлежит
. Тем самым будет доказано, что
является полем.
Пусть – минимальный многочлен алгебраического числа
. Так как
,
, то
не делится на
. Поскольку, кроме того,
неприводим над полем
, многочлены
и
являются взаимно простыми. Но тогда в
существуют такие многочлены
и
, что
. (4)
Полагая здесь , получим
или
.
Итак, – поле, которое, очевидно, содержит
и
. В силу минимальности
имеем
и, следовательно,
. ◘
Замечание 1. Если – трансцендентно над полем
, то не все числа поля
можно представить в виде
. Например, число
представимо в таком виде. Действительно, если предположить противное, т.е.
, то
, т.е.
есть корень многочлена
, что противоречит трансцендентности
.
Примеры.
1. Найти . Так как
алгебраическое над полем
число, то по теореме 1
. Учитывая, что натуральные степени числа
содержатся среди чисел
, заключаем, что
при любом
. Отсюда легко получаем, что
=С.
2. Найти . Так как
– трансцендентное число, то по теореме 1
.