Пример. Получилась функция, аналитическая в полосе (мероморфная во всей плоскости, с полюсами на границах полосы)
Получилась функция, аналитическая в полосе (мероморфная во всей плоскости, с полюсами на границах полосы). Отметим, что первый интеграл сходится только при
, а второй – при
.
Обращением предыдущей теоремы является следующая
Теорема [6].Пусть функция ,
, голоморфна в полосе
и пусть
равномерно, когда
в полосе
, где
– произвольное положительное число. Тогда для функции
,
где , а
– вещественно, имеет место соотношение
.
Кроме того, при
и
при
, где
–произвольное, сколь угодно малое положительное число.
Функцию , определенную в утверждении теоремы можно считать решением интегрального уравнения
.
Доказательство.Проверим непосредственно последнее равенство:
.
Пусть в этом равенстве. Выберем
и
так, что
и перейдем во внутреннем интеграле на параллельную прямую
для
, а для
– на прямую
:
.
Сдвиги сделаны для того, чтобы можно было поменять порядок интегрирования. До сдвигов мы имели , а после сдвигов в первом интеграле
и
, а во втором
и
. Эти неравенства гарантируют экспоненциальное убывание модуля подынтегральной функции при
(с учетом
при
). Отметим здесь, что абсолютная сходимость полученных повторных интегралов влечет в силу теоремы Фубини сходимость при почти всех
и независимость от
интеграла, определяющего функцию f(x).
После перемены порядка интегрирования и вычисления внутренних интегралов будем иметь
, где
– замкнутый контур, получающийся в пределе из прямоугольника
при
, причем этот прямоугольник обходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Так как по условию
равномерно в полосе
, то интегралы по вертикальным сторонам прямоугольника в пределе обращаются в нуль.
По теореме Коши о вычетах (интегральная формула Коши) имеем .
Далее, если при
и
при
, то из формулы
следует, что
голоморфна в полосе
. Однако, по условию
голоморфна при
. Следовательно, можно положить
,
, где
– произвольно малое положительное число.
Теорема доказана.