Метод интегрирования подведением под знак дифференциала

Функция называется первообразной для функции на интервале , конечном или бесконечном, если в любой точке этого интервала функция дифференцируема и имеет производную .

Совокупность всех первообразных для функции , определенных на интервале , называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом

.

Метод подведения под знак дифференциала следует из свойства инвариантности неопределенного интеграла.

Пусть дан интеграл . Справедливо равенство

,

где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция.

Таблица интегралов

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.
15.

При интегрировании методом подведения под знак дифференциала необходимо иметь в виду следующие равенства:

В общем случае

.

Пример 1

Найти интеграл .

Так как , то

.

Пример 2

Найти интеграл .

Так как , то

.

Пример 3

Найти интеграл .

Так как , то

Пример 4

Найти интеграл .

Так как , то

.

Метод интегрирования по частям

Пусть дан интеграл вида , где - непрерывно дифференцируемые функции. Справедлива формула интегрирования по частям

.

Таким образом, вычисление интеграла приводится к вычислению интеграла , который может оказаться более простым или табличным.

Пусть - многочлен степени n. Методом интегрирования по частям можно вычислить, например, интегралы вида:

1 группа:	2 группа:

Пример

Найти интеграл .

Решение

Положим , найдем , . Так как достаточно взять одну из первообразных, то принимаем . Применим формулу интегрирования по частям

.

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пусть функция определена и непрерывная на отрезке и пусть, для определенности,

Разобьем отрезок на n частей произвольным образом точками деления: . Выберем на каждом частичном промежутке произвольным образом точки .

Обозначим Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через Перейдем к пределу при .

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные и выбора на них точек , то он и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Если – любая первообразная для функции , то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

,

т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1

Если то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой ,

прямыми и осью ох:

Если меняет знак конечное число раз на отрезке , то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, где и отрицателен, где :

.

Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми , тогда при условии имеем

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение

у у=х+3     у=х2+1 3       –3 –1 0 2 х

Найдем точки пересечения: ,

.

Тема № 5