Схема применения метода интервалов для дробно-рациональной функции

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Основные сведения из теории.

Выражение вида , где ,
действительные числа и , называется многочленом (полиномом, целой рациональной функцией) -ой степени.

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой

,
где и – целые положительные числа, коэффициенты многочленов – действительные числа, и .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя , т.е. .

В случае рациональная дробь называется неправильной.

Неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной рациональной дроби:

, где .

Число называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу: остаток от деления многочлена на равен .

Имеют место следующие утверждения:

1)число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на ;

2) множество корней многочлена совпадает с множеством корней соответствующего уравнения .

Если делится без остатка на и не делится на , то число называется -кратным корнем многочлена , а число - кратностью корня .

При корень называется простым.

Справедливо утверждение:

всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.

Метод интервалов.

График дробно-рациональной функции

В курсе математического анализа будет доказано, что любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Метод интервалов опирается на следующее свойство непрерывных функций.

Если

а) функция непрерывна на интервале ;

б) для ,
то функция на интервале сохраняет постоянный знак.

Пусть дробно-рациональная функция, т. е. .

Рассмотрим метод интервалов для неравенств вида

, , ,

( , , , ).

Схема применения метода интервалов для дробно-рациональной функции

а) Раскладываем многочлены и на произведение линейных множителей и квадратичных множителей, для которых не существует действительных корней. Одинаковые корни объединяем.

б) На числовой прямой отмечаем область определения функции .

Замечание 1. Функция не существует в точках, где многочлен обращается в нуль.

в) На этой числовой прямой отмечаем нули функции , которые совпадают с нулями функции . (Нули функции разбивают область определения на промежутки, на каждом из которых функция сохраняет знак).

г) Находим знаки функции в полученных промежутках.

Замечание 2. Для определения знака функции на конкретном промежутке можно найти её знак в любой (удобной) точке , принадлежащей этому промежутку.

Замечание 3. Если числитель или знаменатель содержат множитель (кратность корня четная), то при переходе через точку функция знак не меняет.

Если числитель или знаменатель содержат множитель (кратность корня нечетная), то при переходе через точку функция знак меняет на противоположный.

д) Записываем ответ.

Пример 1. Используя метод интервалов, решить неравенство .

Решение. Пусть .

, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству .

а) Разложим на множители числитель и знаменатель и , тогда неравенство принимает вид

или .

б) В точках функция не существует, и область еёопределения.

в) являются корнями числителя функции . Это нули функции .

На числовой оси отмечаем область определения и нули этой функции.

г) Определяем знаки функции на интервалах знакопостоянства (можно, например, вычислить значения функции в точках , , , и ).

В данном случае удобно исследовать знак функции , пользуясь замечанием 3.

Определяем знак функции , например, в точке имеем . Следовательно, справа от точки функция . При переходе через точку функция свой знак не меняет, так как корень имеет четную кратность. Корни , , имеют нечетную кратность, поэтому на каждом из этих корней функция меняет свой знак.

д) Записываем ответ.

Ответ: .

Пример 2. Построить график функции .

Решение. а) Функция определена для .

б) при .

в). Прямые и являются асимптотами этой функции.

Очевидно, при ордината графика функции стремится к бесконечности.

г) Знаки функции

Рис. 2.1 График функции .

Нетрудно доказать, что двойное неравенство вида , где и числа , равносильно неравенству , т.е. .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим неравенство , равносильное данному. Из последнего имеем неравенство , которое может быть решено методом интервалов.