Следствия теоремы Лиувилля

А. Согласно теореме , следовательно

,

и сохраняется число микросостояний в единице объема при перемещении микросостояний по фазовому пространству. Каждое микросостояние описывает реальный объект, и число микросостояний не меняется. Тогда фазовый объем элемента ансамбля не изменяется с течением времени

,

изменяется лишь форма объема. Аналогично ведет себя объем несжимаемой жидкости. Учитываем

,

где J – якобиан преобразования между начальными и текущими X координатами, получаем

= 1. (2.6)

Модуль якобиана, связывающего начальные и текущие фазовые координаты, равен единице. Результат используется при проверке выполнения теоремы Лиувилля для конкретной системы.

При одномерном движении частицы в плоскости из (2.6) получаем

. (2.6а)

Б. Для стационарной системы функция распределения является макрохарактеристикой. Согласно теореме Лиувилля она не изменяется с течением времени, поэтому может зависеть только от интегралов движения. Если система как целое неподвижна и не вращается, то функция распределения зависит от полной энергии, то есть от гамильтониана:

. (2.6б)

В. Для равновесной изолированной системы

.

Система с равной вероятностью обнаруживается в любом из доступных микросостояний.

Г. Теорема не выполняется для диссипативных систем, т. е. при наличии трения и неупругих соударений. Диссипативная сила, действующая на тело со стороны среды, направлена против скорости движения тела относительно среды. Уравнения Гамильтона в виде (2.1) в этом случае не применимы.