Дифференциальное исчисление функций
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Дифференцирование функций
Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда при-ращение аргумента стремится к нулю:
где
Производная обозначается у', y'(x), y'x.
Правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда C' = 0,
Производная сложной функции y = f(u(x)). Если функция u = u(x) дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируемая в соответствующей точке u = u(x), то сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна
Таблица производных.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. (
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Функция неявно задана уравнением
если для всех
выполняется равенство
Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно f'(x).
Пример 6.1. Найти производную показательно-степенной функции
.
Решение. Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части, получим
Умножая обе части равенства на у, имеем:
Пример 6.2. Найти производную функции , заданной неявно уравнением
.
Решение. Дифференцируя по х тождество
, получим
. Выражая
из этого равенства, находим:
.
Дифференциал функции
равен произведению ее про-изводной на приращение
независимой переменной:
или
.
При достаточно малых имеет место приближенная формула
, т.е.
или
.
Пример 6.3. Найти приближенное значение объема шара, радиус которого равен 1,02 м.
Решение. Воспользуемся формулой . Тогда
. Полагая
, получим
м3.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Производной второго порядка функции называется производная от ее производной
, т.е.
. Аналогично определяются производные более высоких порядков
.
Дифференциалы высших порядков функции (x – независимая переменная) вычисляются по формулам
.
Если функция задана параметрически соотношениями
, причем
, то ее первая
и вторая
производные находятся по формулам:
.
Пример 6.4. Найти выражение для производной n-го порядка функции .
Решение.
.
Пример 6.5. Найти производную 2-го порядка от функции , заданной неявно уравнением
.
Решение. По правилу дифференцирования функции, заданной неявно, получаем:
.
Отсюда, используя равенство , имеем:
или
.
Следовательно, .
Дифференцируя последнее равенство и используя найденное для выражение, получим:
Пример 6.6. Найти производную 2-го порядка функции, заданной параметрически:
Решение.
Пример 6.7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го, …, n-го порядков функции .
Решение.