Примеры. 66. Проверить, что поле =(y+z) + (z+x) +(x+y) является потенциальным, и найти его потенциал

66. Проверить, что поле =(y+z) + (z+x) +(x+y) является потенциальным, и найти его потенциал.

Решение. Поле определено во всем пространстве, т.е. в односвязной области, поэтому достаточно проверить, что rot =0. Имеем:

rot = =(1–1) +(1–1) +(1–1) = ,

что и доказывает потенциальный характер поля .

Найдем потенциал двумя способами.

1 способ.

Для нахождения потенциала воспользуемся формулой (*), беря в качестве М₀ начало координат:

2 способ.

Будем снова считать М₀(0,0,0).

Пусть =x +y +z – радиус-вектор точки М(x,y,z), а точка N пробегает отрезок M₀М; ее радиус‑вектор . Точка N имеет координаты t_x, t_y, t_z.

Отсюда d = dt. Положим .

Для рассматриваемого поля (t)=t(y+z) + t(z+x) +t(x+y) .

( (t), )=t(y+z)x+t(z+x)y+t(x+y)z=2t(xy+yz+zx).

Следовательно, =(xy+yz+zx) = xy+yz+zx.

Ответ: xy+yz+zx.

67. Доказать, что циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Решение: Пусть - потенциальное поле и (L) - замкнутый контур, началом и концом которого является точка М(М=М₀).

Тогда , что и требовалось доказать.