Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны.

В этом случае (при > ). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что ( опять по аналогии определения равно- действующей параллельных сил).

3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны.

Угловая скорость абсолютного движения и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений, по аналогии с парой сил.

Пример 1: Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью (рис.11.4).

Горизонтальная ось – это ось относительного вращения ; вертикальная ось – ось переносного вращения . Соответственно угловые скорости векторы их направлены по осям и .

Абсолютная угловая скорость , а величина ее, так как ,

.

Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относи­тельной скоростей: , где

и ,

или как при абсо­лютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р,

Вектор скорости будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору и оси Р.

Пример 2: Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость , этого колеса. Радиусы колес .

Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращаться вместе с води- лом вокруг оси О и относительно оси . Ось О будет переносной осью, ось – относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила , направленная по часовой стрелке, как .

Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью , а колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью , против часовой стрелки.

Так как , то . Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому и направлена так же, как , против часовой стрелки. В частности, если , то и . Колесо 3 будет двигаться поступательно.

Сферическое движение

(Вращение тела вокруг неподвижной точки)

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Положение тела определяется тремя углами. Самыми распространёнными являются углы Эйлера: (пси), (тета), (фи).

Первая система декартовых осей – неподвижные оси . Начало которых берётся в неподвижной точке тела (рис. 1). Вторая система - оси , связывается с телом. Поэтому положение тела будет определятся как положение этих осей относи­тельно неподвижных.

Линия пересечения неподвижной плоскости и подвижной , прямая , называется линией узлов. Угол называется углом прецессии, угол – углом нутации, угол – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам: которые называются уравнениями вращения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис. 2). Ось волчка описывает конус вокруг неподвижной оси . Это вращение определяется углом (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации . А вращение волчка вокруг своей оси , определяемое углом – собственное вращение.

2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку .Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени. Ось называют мгновенной осью вращения,а угловую скорость – мгновенной угловой скоростью, вектор которой направлен по оси.

3) Скорость точек тела.

Определение скоростей точек тела значительно упрощается, если известна мгновенная ось вращения . Иногда её можно найти, если удастся обнаружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме , скорость которой в данный момент равна нулю, и провести ось из неподвижной точки O через эту точку.

Скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси . Величина скорости .

, вращаясь вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ,заставляет диск радиуса кататься по горизонтальной плоскости.

- мгновенная ось вращения. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси.

Точка вместе с водилом вращается вокруг оси . Поэтому её скорость . Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси и направление вектора .Величина угловой скорости (h – расстояние от до оси ). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси . Так, например, скорость точки . Так как и , то и

4) Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка расположенная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис. 5). Если рассматривать вектор как ра­диус-вектор этой точки, то

Угловое ускорение тела можно определить как скорость точки, расположен- ной на конце вектора угловой скорости:

.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Ускорение какой-либо точки тела

, есть сумма двух векторов.

Первый вектор . Модуль его , где h₁ – расстояние от точки до вектора .Направлен он перпендикулярно и . Это касательное ускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с вектором . И обозначается этот вектор ускорения так

Второй вектор Модуль его , но , т.к. векторы и перпендикулярны друг другу. Значит , где h₂ – расстояние от точки М до мгновенной оси , до вектора .

Направлен вектор перпендикулярно и , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси , или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.