Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны.
В этом случае (при
>
). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что
( опять по аналогии определения равно- действующей параллельных сил).
3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны.
Угловая скорость абсолютного движения и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений, по аналогии с парой сил.
Пример 1: Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью
(рис.11.4).
Горизонтальная ось – это ось относительного вращения ; вертикальная ось – ось переносного вращения
. Соответственно угловые скорости
векторы их направлены по осям
и
.
Абсолютная угловая скорость , а величина ее, так как
,
.
Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относительной скоростей: , где
и
,
или как при абсолютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р,
Вектор скорости будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору
и оси Р.
Пример 2: Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость
, этого колеса. Радиусы колес
.
Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращаться вместе с води- лом вокруг оси О и относительно оси
. Ось О будет переносной осью, ось
– относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила
, направленная по часовой стрелке, как
.
Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью
, а колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью
, против часовой стрелки.
Так как , то
. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому
и направлена так же, как
, против часовой стрелки. В частности, если
, то
и
. Колесо 3 будет двигаться поступательно.
Сферическое движение
(Вращение тела вокруг неподвижной точки)
Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.
1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.
Положение тела определяется тремя углами. Самыми распространёнными являются углы Эйлера:
(пси),
(тета),
(фи).
Первая система декартовых осей – неподвижные оси . Начало которых берётся в неподвижной точке
тела (рис. 1). Вторая система - оси
, связывается с телом. Поэтому положение тела будет определятся как положение этих осей относительно неподвижных.
Линия пересечения неподвижной плоскости и подвижной
, прямая
, называется линией узлов. Угол
называется углом прецессии, угол
– углом нутации, угол
– углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.
При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам:
которые называются уравнениями вращения.
На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис. 2). Ось волчка описывает конус вокруг неподвижной оси
. Это вращение определяется углом
(говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации
. А вращение волчка вокруг своей оси
, определяемое углом
– собственное вращение.
2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.
Тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку .Мгновенная ось вращения – геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени. Ось
называют мгновенной осью вращения,а угловую скорость
– мгновенной угловой скоростью, вектор которой направлен по оси.
3) Скорость точек тела.
Определение скоростей точек тела значительно упрощается, если известна мгновенная ось вращения
. Иногда её можно найти, если удастся обнаружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме
, скорость которой в данный момент равна нулю, и провести ось
из неподвижной точки O через эту точку.
Скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси . Величина скорости
.
, вращаясь вокруг вертикальной оси
с угловой скоростью
,заставляет диск радиуса
кататься по горизонтальной плоскости.
- мгновенная ось вращения. И вектор мгновенной угловой скорости
будет направлен по этой оси.
Точка вместе с водилом
вращается вокруг оси
. Поэтому её скорость
. Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси
и направление вектора
.Величина угловой скорости
(h – расстояние от
до оси
). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси
. Так, например, скорость точки
. Так как
и
, то
и
4) Ускорение точек тела.
Сначала определим угловое ускорение тела
. При движении тела вектор угловой скорости
изменяется и по величине, и по направлению. Точка расположенная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью
(рис. 5). Если рассматривать вектор
как радиус-вектор этой точки, то
Угловое ускорение тела можно определить как скорость точки, расположен- ной на конце вектора угловой скорости:
.
Этот результат называется теоремой Резаля.
Ускорение какой-либо точки тела
, есть сумма двух векторов.
Первый вектор . Модуль его
, где h1 – расстояние от точки
до вектора
.Направлен он перпендикулярно
и
. Это касательное ускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с вектором
. И обозначается этот вектор ускорения так
Второй вектор Модуль его
, но
, т.к. векторы
и
перпендикулярны друг другу. Значит
, где h2 – расстояние от точки М до мгновенной оси
, до вектора
.
Направлен вектор перпендикулярно
и
, т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси
, или вектора
. Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:
Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:
Этот результат называется теоремой Ривальса.