Производная и ее приложения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x₀ и новое x. Разность x– x₀называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x₀ (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x₀+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x₀ значение функции было f(x₀), то в новой точке xфункция будет принимать значение f(x) = f(x₀ +Δx).

Разность y – y₀ = f(x) – f(x₀) называется приращением функции y = f(x) в точке x₀ и обозначается символом Δy. Таким образом,

Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 +Δx) - f(x0).

(1)

Обычно исходное значение аргумента x₀ считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y₀ = f(x₀) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx→0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x₀ и обозначают f '(x₀). Итак,

.

Производной данной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f '(x),y ', . Конкретное значение производной при x = aобозначается f '(a) или y '|_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
3. Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx∞0.

Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга).
Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.

Функцияy = arcsin x Дана функция y = sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствиеy = arcsin xфункцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]. Так как для функции y = sin x на интервале \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsin x, график которой симметричен графику функции y = sin x на отрезке \left [ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ]относительно прямойy = x.
Функцияy = arccos x Дана функция y = cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствиеy = arccos xфункцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0;\pi]. На этом отрезке y = cos xстрого монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0;\pi] существует обратная функция y =arccosx, график которой симметричен графику y = cos x на отрезке [0;\pi] относительно прямойy = x.
Функцияy = arctg x Дана функция y = tg x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствиеy = arctgxфункцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right). На этом отрезке y = tg xстрого монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) существует обратная функция y = arctg x, график которой симметричен графикуy = tgx на отрезке \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right) относительно прямой y = x.
Функцияy = arcctg x Дана функция y = ctg x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствиеy = arcctg x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — (0;\pi). На этом отрезке y = ctg xстрого возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0;\pi) существует обратная функция y= arcctg x, график которой симметричен графикуy = ctg x на отрезке (0;\pi) относительно прямой y = x.