Определённый интеграл, его свойства и геометрический смысл

Пусть функция определена на отрезке Произведём разбиение (см. Р5)

отрезка на частичные отрезки и выберем произвольно точки Вычислим значения

и составим так называемую интегральную сумму

Определение 3.Если существует конечный предел интегральных сумм:

и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек то его называют определённым интегралом от функции на отрезке Обозначение: При этом саму функцию называют интегрируемой на отрезке

(заметим, что число называется диаметром разбиения ).

Пусть теперь функция По разбиению строится ступенчатая фигура (см. Р6), состоящая из прямоугольников высоты и длиной основания, равной Площадь этой ступенчатой фигуры (достройте её самостоятельно) равна интегральной сумме и эта площадь будет приближённо равна площади криволинейной трапеции^[2] т.е. причём это равенство будет тем точнее, чем меньше диаметр разбиения и оно становится точным при

Мы пришли к следующему геометрическому смыслу определённого интеграла:

интеграл численно равен площади криволинейной трапеции с верхней границей, описываемой уравнением

Замечание 3. В определении 3 интеграла предполагается, что отрезок интегрирования ориентирован от до (т.е. ). В случае противоположной ориентации отрезка

(т.е. при ) полагаем по определению Также полагаем по определению, что

Перейдём к формулировке свойств определённого интеграла.

Ограниченность подынтегральной функции.Если функция интегрируема на отрезке то она ограничена на этом отрезке (т.е. ).

Линейность интеграла.Если функции и интегрируемы на отрезке то на этом отрезке интегрируема и любая их линейная комбинация и имеет место равенство

Аддитивность интеграла.Если функция интегрируема на максимальном из отрезков то она интегрируема и на двух других отрезках, причём имеет место равенство

Далее везде предполагаем, что

Монотонность интеграла.Если функции и интегрируемы на отрезке и то

Интегрируемость модуля.Если функции интегрируема на отрезке то на этом отрезке интегрируема и функция причём имеет место неравенство

Теорема о среднем для интеграла.Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда существует точка такая, что (геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что существует прямоугольник с основанием и высоты равновеликий криволинейной трапеции ).

Доказательство.Пусть (по теореме Вейерштрасса значения и функцией достигаются). Имеем поэтому из свойства монотонности интеграла отсюда получаем

Последние неравенства показывают, что значение является промежуточным для функции на отрезке а, значит, по теореме Больцано-Коши существует такое, что

Теорема доказана.

Рассмотрим ещё несколько примеров, которые демонстрируют простейшие приёмы интегрирования.

[1] Здесь и всюду далее с тем, чтобы не прерывать выкладки, в квадратных скобках будем указывать соответствующие замены переменных или формулы, необходимые для преобразований исходных выражений.

[2] На рис. Р6: – это трапеция ограниченная сверху кривой снизу– осью , с боков– прямыми и