Общее преобразование координат в пространстве

Пусть в пространстве заданы две совершенно произвольные аффинные системы координат с общим началом, R = {O, , , } и R ¢ = {O, , , } – реперы, с помощью которых они определяются. Пусть – произвольный вектор, (x₁, x₂, x₃) – его координаты в первой СК, (, x₂¢ , x₃¢ ) – во второй. Будем называть (x₁, x₂, x₃) старыми координатами вектора , а (, x₂¢ , x₃¢ ) – новыми его координатами.

Найдем связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса B ¢ = { , , } по первому базису B = { , , } :

= с₁₁ + с₂₁ + с₃₁ ,

= с₁₂ + с₂₂ + с₃₂ , (20)

= с₁₃ + с₂₃ + с₃₃ .

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

с₁₁ с₁₂ с₁₃

С = с₂₁ с₂₂ с₂₃

с₃₁ с₃₂ с₃₃ .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Имеем:

= x₁ + x₂ + x₃

= x₁¢ + x₂¢ + x₃¢ .

Подставим в последнее равенство выражения (20):

= x₁¢ (с₁₁ + с₂₁ + с₃₁) + x₂¢ (с₁₂ + с₂₂ + с₃₂ ) + x₃¢ (с₁₃ + с₂₃ + с₃₃ ).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

= (с₁₁x₁¢ + с₁₂x₂¢ + с₁₃x₃¢ ) + (с₂₁+ с₂₂x₂¢ + с₂₃x₃¢ ) + (с₃₁+ с₃₂x₂¢ + с₃₃x₃¢ ) .

Сравниваем с (*), и в силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x₁= с₁₁x₁¢ + с₁₂ x₂¢ + с₁₃ x₃¢ ,

x₂ = с₂₁+ с₂₂ x₂¢ + с₂₃x₃¢ , (21)

x₃ = с₃₁+ с₃₂x₂¢ + с₃₃ x₃¢ .

Если использовать столбцы, составленные из координат

x₁ x₁¢

X = x₂ X ¢= x₂¢

x₃ , x₃¢ ,

То систему (21) можно переписать в виде одного матричного равенства:

X = CX ¢ (21¢ )

Þ X ¢= C ^–1X ,(22)

т.е. для того, чтобы найти новые координаты вектора по старым, необходимо выписать формулы, аналогичные (21), только в качестве коэффициентов будут использованы элементы матрицы C ^–1, а штрихи у координат будут стоять в левых частях равенств. Можно решить систему уравнений (21) относительно неизвестных x₁¢ , x₂¢ , x₃¢ и мы получим те же формулы.

К сожалению, не всегда к моменту изучения этого параграфа студенты успевают пройти по алгебре произведение матриц и обратную матрицу. Но ко времени экзамена этот материал обязательно должен быть пройден. Необходимые пояснения будут даны на практических занятиях по геометрии.

Координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, поэтому они пересчитываются по тем же формулам (21¢) и (22). Заметим, что все рассуждения, приведенные при выводе формул (17) и (17¢) верны и для произвольной аффинной СК. Поэтому в случае переноса начала координат в точку O¢(a, b, c) координаты точки пересчитываютcя по формулам

x₁= x₁¢ + a, x₁¢ = x₁ – a,

x₂ = x₂¢ + b, (22) x₂¢ = x₂ – b, (22¢)

x₃ = x₃¢ + c. x₃¢ = x₃ – c.

Все сказанное выше верно и для преобразования аффинной СК на плоскости.

Примеры решения задач.

1.ABCD – параллелограмм, O – его центр,M, N, P, Q – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Векторы = и = выбраны в качестве базисных. Найти координаты вектора в базисе {, }.

Решение. По правилу треугольника = + ; = , а по

правилу параллелограмма сложения векторов = + = + . Поэтому = (+ ) + = + . Значит, .

Ответ: .

2.Даны координаты векторов (17, 0) и (–1, 1) в ортонормированном базисе. Найти такое l, при котором вектор = +l имеет абсолютную величину || = 25 (если решений два, то достаточно взять одно из них). Найти единичный вектор, коллинеарный .

Решение. Вектор = +l· имеет координаты (17 – l, 0 + l). Находим его длину и приравниваем ее к 25. Получаем квадратное уравнение относительно неизвестного l:

(17 – l)² + l² = 625,

2l² – 34l + 289 = 625 Û 2l² – 34l – 336 = 0, Û

Û l² – 17l – 168 = 0.

Решая его, находимl₁= – 7;l₂= 24.Поскольку по условию достаточно найти только одно решение, ограничиваемся l₁= – 7.Тогда находим координаты вектора (24, 7). И, чтобы получить единичный вектор ‌|| , мы делим координаты вектора на длину этого вектора, т.е. на 25: .

Ответ: l₁= – 7, .

3.Даны координаты вектора (–2, –2) в декартовой системе координат. Вычислить координаты вектора , полученного из поворотом: a) на угол a=120^o, б) на угол b=90°.Пусть = . Вычислить полярные координаты точки A , если полярная ось совпадает с Ox.

Решение. Координаты вектора (x¢, y¢), полученного из вектора (x, y) поворотом на угол a,вычисляются по формулам:

x¢= x·cos a – y·sin a ,

y¢= x·sin a + y·cos a .

(Не путать с формулами, по которым изменяются координаты данного вектора при повороте координатных осей!)

а) В нашем случае имеем cos a = – , sin a = .

x¢= – (–2) + 2· = 2,

y¢= –2·– 2·(– ) = –2 .

б) Имеем sin 90°=1; cos 90°= 0 и по тем же формулам находим (2,–2).

Если известны декартовы координаты точки А(x, y), то ее полярные координаты (r, φ) находятся по формулам:

r = ,

cos j = ,sinj = .

Декартовы координаты точки А совпадаютс координатами ее радиус-вектора . Поэтому А(–2,–2). Отсюда находим r = 4; cos j = – ;sin j = – .Значит j = . А(4, ).

Ответ:а) (2,–2); б) (2,–2); А(4, ).

4.Даны координаты двух вершин A(3,-2), B(8, 5) квадрата ABCD. Найти координаты двух других вершин.

Решение. Находим (5, 7). Вектор может быть получен из поворотом на 90^о, либо на –90^о. Таким образом, задача имеет два решения.

Так же, как и в предыдущей задаче находим, что (–7, 5), либо (7,–5). Для того, чтобы найти координаты точки D надо к координатам точки A прибавить координаты вектора : D(- 4, 3). Далее используем, что = и находим координаты C(1, 10). Второй ответ ищется аналогично.

Ответ:C(1, 10), D(– 4, 3), C¢(15, 0), D¢(10,–8).

5.Вершины четырехугольника находятся в точках A(1, 2), B(7,– 6), C(11,–3), D(8, 1). Показать, что ABCD – трапеция. Найти длины оснований трапеции, ее площадь и cosÐDAB.

Решение. Находим координаты векторов (6,–8), (4, 3), (–3, 4), (7,–1). Проверяем векторы, определяемые противоположными сторонами четырехугольника на коллинеарность:

– = –– верно, значит коллинеарен .

=– неверно, значит неколлинеарен .

Таким образом, в четырехугольнике две противоположные стороны коллинеарны, а две – нет. Значит это – трапеция, и основаниями являются AB и CD. Находим длины сторон:

½½ = = 10,

и аналогично ½½= 5;½½=5;½½= 5 .

Обозначим a =Ð BAD.

cos a = = = ,

следовательно Ð BAD = 45^o. Не во всех вариантах может получиться табличный угол, поэтому далее действуем так: зная cos a ,находим

sin a = = .

Tогда h =½½· sin a = 5. Зная высоту и длины оснований находим площадь: S =(AB + CD)· h = .

Ответ: ½½ = 10, ½½= 5, cos a = , S_ABCD = .

6. Дано ½½= 10, ½½ = 3, a =Ð(, ) = 30^o. Найти площадь треугольника, построенного на векторах = – 3 и = 2 + 5, отложенных из одной точки. Найти длину медианы, исходящей из этой же точки.

Решение. Площадь параллелограмма построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника, построенного на этих векторах равна половине площади параллелограмма: S_Δ= ½ ´ ½. Пользуясь свойствами и определением векторного произведения находим

½ ´ ½=½( – 3 )´(2 + 5 )½=½ ´ + 5 ´ – 3´ – 15 ´ ½=

=½ + 5 ´ + 3 ´ +15½= 8½ ´ ½= 8½½·½½·sin a =

= 8·10·3· = 120 .

S_Δ= ½ ´ ½= 60 .

Если AD – медиана DABC, то = ( +). В нашем случае, если

– вектор, задающий медиану, то = ( + ) = +.

Нам требуется найти длину этого вектора. Самое первое следствие из определения скалярного произведения: скалярный квадрат вектора ² = · равен квадрату его длины ½½². Имеем

½½²= · = ( + )·( + ) = ² + 3 · + ²=

= ½½²+ 3½½·½½ · cos a +½½² =

= ·100 + 3·10·3· + 9 = 234 + 45.

Значит, ½½ = .

Ответ: S_Δ= 60, длина медианы равна .

Подчеркнем, что ни в коем случае нельзя использовать обозначение ² вместо ´ ; ²означает · . Особо обращаем внимание, что при решении использовалось свойство ´ = – ´ .

7. Докажите, что векторы (10, 11, 2) и (10,–10, 5) отложенные из одной точки, можно взять в качестве ребер куба, и найдите третье ребро куба, исходящее из этой же точки.

Решение. Для того, чтобы векторы и могли служить ребрами куба, они должны быть друг другу перпендикулярны и иметь одинаковую длину. Проверяем:

· = 10·11 + 11·(–10) + 2· 5 = 0 Þ ^ ,

| | = = 15,

| | = = 15.

Вектор , задающий третье ребро куба, должен быть перпендикулярен и и должен иметь одинаковую с ними длину.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ будет перпендикулярен и . Выясним, какую он будет иметь длину:

½ ´½=½½ ·½½×sinÐ( , ) = 15·15· sin 90^o= 225.

Искомый вектор должен иметь длину 15. Следовательно, = ´ . Находим

´ = = 75i – 30j – 210k, (5, –2,–14).

Очевидно, что вектор = – тоже удовлетворяет условиям задачи.

Ответ:(5, –2,–14), (–5, 2,14).

8.Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC: A(4, 0, 1), B(5,–1, 1), C(4, 7,–5), S(7, 5, 2). Найти объем пирамиды, площадь основания ABC и высоту (с помощью векторного и смешанного произведений). Найти угол ÐBAC. Укажите, какой вектор перпендикулярен основанию. Изобразите данную пирамиду в декартовой системе координат.

Решение. Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

(1,–1, 0), (0, 7,– 6), (3, 5, 1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда: V= ½½.

Смешанное произведение можно вычислить так:

=

Но, поскольку для вычисления площади основания нам понадобится векторное произведение ´, то намного проще воспользоваться определением смешанного произведения: =(´)· . При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.

´ = = i– j + k = 6i + 6j + 7k.

S_ΔABC = ½´½= = .

(´)· = 6×3 + 6×5 + 7×1 = 55. V = ½(´)·½= .

C другой стороны, V = S_ΔABC ·h . Отсюда h = = = 5.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ перпендикулярен и . Поэтому вектор = ´ будет перпендикулярен основанию пирамиды; (6, 6, 7). Угол ÐBAC ищется так же, как и в задаче 5.

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

Ответ: V = , S_ΔABC = , h = 5, (6, 6, 7).

9. Вычислить площадь треугольника ABC, если вершина A находится в полюсе, а две другие имеют заданные полярные координаты: B(6, ), C(4, ). Найти длину BC. Изобразить данный треугольник.

Решение. Нарисуем чертеж к задаче, построив точки B и C по их полярным координатам. Из чертежа и геометрического смысла полярных координат находим, что

ÐBAC = j₁– j₂ = – = ,

AB = 6, AC = 4.

Тогда

S_ΔABC = AB×AC×sinÐBAC = ×6×4×sin = 12× = 6.

По теореме косинусов

BC²= AB² + AC² – 2×AB×AC×cosÐBAC = 36 + 16 – 2×6×4×(– ) = 76.

Ответ:S_ΔABC= 6,BC = = 2.

10.Новая декартова СК получена из старой переносом начала в точку O¢(2,–1) и поворотом на угол a = arccos .

а) Выпишите формулы, выражающие новые координаты через старые. Найдите новые координаты точки A, если известны её старые координаты: A(6, 2).

б) Выпишите формулы, выражающие старые координаты через новые. Найдите старые координаты точки B, если известны её новые координаты: B(5, 5).

Решение. а) Новые координаты выражаются через старые по формулам

x¢= (x – a)×cos a + (y – b)×sin a,

y¢= –(x – a)×sin a + (y – b)×cos a,

где (a, b) – координаты точки O¢, a – угол поворота координатных осей. Зная cos a находим sin a и подставляем в формулы:

x¢= (x – 2) + (y + 1),

y¢= – (x – 2) + (y + 1).

Для точки A(6, 2)_Oxy находим x¢= 5, y¢= 0. Значит A(5, 0)_O¢x¢y¢.

б) Старые координаты выражаются через новые по формулам

x = x¢×cos a – y¢×sin a + a,

y = x¢×sin a + y¢×cos a + b.

В нашем случае

x = x¢ – y¢ + 2,

y = x¢ + y¢ – 1.

Подставляя сюда координаты точки B(5, 5)_O¢x¢y¢ находим B(3, 6)_Oxy.

Ответ: A(5, 0)_O¢x¢y¢, B(3, 6)_Oxy .