Определение и способ решения
Пусть — некоторая функция,
— ее производная. Для удобства будем записывать производную виде
, имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал
— приращение значения переменной в окрестности
, стремящееся к нулю. Дифференциал функции
— малое приращение функции,
. Пусть
и
— некоторые функции от
и
. Рассмотрим уравнение
.
Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :
.
Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при
и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от
до
для левой части и от
для
для правой части уравнения:
.
Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить .
Значения и
называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —
, где
— первообразная
,
— произвольная постоянная, запишем это в виде
.
Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные , удовлетворяющие уравнению
. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).
2.3)
(О существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть - непрерывная функция в области
, причем
- также непрерывен в
. Тогда для любой точки
задача Коши:
имеет решение, причем единственное в том смысле, что если есть 2 ее решения
и
, определенные на интервалах
и
, содержащих точку
, то они совпадают на пересечении
этих интервалов.
Теорему оставим без доказательства.
Замечание. Говорят, что решение дифференциального уравнения на интервале
есть продолжение решения
на
, если
и
на
. Также говорят, что решение
- максимальное или непродолжаемое относительно
, если
не обладает продолжениями, целиком лежащими в
.
На основании этого замечания можно сказать, что при условиях теоремы существует единственное максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши.
Геометрический смысл сформулированной теоремы состоит в следующем. Левая часть уравнения представляет собой
- тангенс угла наклона касательной к графику искомой функции в точке
, а правая часть
задает его численное значение
в этой точке. Поэтому можно считать, что уравнение задает поле направлений на области
, т.е. к каждой точке
прикреплен вектор, указывающий направление касательной к искомой интергальной кривой.
2.3)