В научно-технических исследованиях

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЕГО РОЛЬ

В НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

1. Понятия "моделирование" и "модель"

В настоящее время моделирование как инструмент познания становится главенствующим направле­нием при проектировании и исследовании новых систем и объектов, анализе свойств существующих систем, выборе и обосновании оптималь­ных условии их функционирования и т.п.

В научных исследованиях моделирование стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строи­тельство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес модели­рованию XX век и особенно широкое применение вычислительной техники.

Моделирование проникло в различ­ные области знаний и их приложения: технические, экономиче­ские, социальные, биологические и многие другие, на первый взгляд, далекие от математики. Поэтому специалистам различ­ных направлений необходимо владеть методами математического моделирования и иметь представление о методах, применяемых при моделировании.

Моделирование - воспро­изведение или имитирование поведения какой-либо реально существу­ющей системы или объекта на специально построенном по определен­ным правилам аналоге с целью получения информации о реальном объекте.

То есть в процессе моделирования происходит замещение одних объектов другими, которые обеспечивают фиксацию наиболее характерных свойств и особенностей замещаемых объек­тов.

Замещаемый (моделируемый) объект называется оригиналом, замещающий (моделирующий) объект — моделью.

Модель - материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объ­ект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Тер­мин “модель” произошел от латинских слов modus, modulus (мера, образ, способ).

Необходимость использования моделирования опре­деляется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невоз­можно, или же это исследование требует много времени и средств.

Нужно отметить, что модель отражает только некоторые, наиболее существенные черты объекта-оригинала. По­этому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограничен­ном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концен­трирующих внимание на различных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью дета­лизации.

2. Классификация моделей

В научной литературе существует большое разнообразие подходов к клас­сификации моделей и методов мо­делирования [1, 2]. Рассмотрим наиболее общую классификацию (рисунок 1).

Рисунок 1 - Классификация моделей

Как видно из схемы различают две группы моделей: мысленные (абстрактные, иде­альные) и материальные (вещественные, предметные).

Материальные модели делятся на натурные, физические и аналоговые (математи­ческие материальные).

Натурная модель - сам объект (оригинал), подлежащий иссле­дованию. На натурной модели можно проводить стендовый и производственный эксперимент, исследуя его отдельные характеристики.

Например, на реальных металлургических машинах можно исследовать параметры движения звеньев, деформацию отдельных элементов, энергосиловые параметры двигателя и т.д. Эксперимент, проводимый в производственных условиях, как правило, является обязательной частью прикладного исследования. Исследования на натурных моделях выступают в качестве критериев ис­тинности всего исследования.

Физическая модель - это объект, обладающий физическим подобием с оригиналом, т.е. физическая природа проте­кающих в нем процессов аналогична природе процессов объекта-оригинала.

При этом объект-оригинал замещается увеличенной или уменьшенной копией, физи­чески однородной с оригиналом. Например, выполненные в уменьшенном масштабе модель конвертора, модель кантовальной установки.

Результаты исследования модели переносятся на оригинал на основе теории подобия. Полученная при этом информация будет соответствовать резуль­татам натурного эксперимента.

Недостатком данного метода моделирования является его низкая универсальность, т.к. для каждого исследуемого объекта должна быть построена его самостоятельная модель, а переход к другому объекту исследования требует замены всей модели. Даже изучение влияния отдельных параметров на одну и ту же модель требует её замены или существенной переделки. Все это связано со значительными затратами труда, времени и материальных средств.

Аналоговая модель – это объект, имеющий иную физическую природу, чем у оригинала, но исследуемые явления протекают в модели аналогично и описываются такими же мате­матическими уравнениями и соотношениями.

Такое моделирование основывается на изоморфизме уравнений, т.е. их способности описывать различные по своей природе явления аналогично.

Для такого моделирования используются аналогии между механическими, тепловыми, гидравлическими, электри­ческими и другими явлениями.

Например, колебания груза на пружине аналогичны колебаниям тока в электрическом контуре и описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Мысленные модели делятся на наглядные,символическиеиматематические.

Наглядные модели – это различные мысленные представления (гипоте­зы) в форме тех или иных воображаемых моделей (например, известные планетарные модели атома Резерфорда и Бора), причем для них могут создаваться иллюстрирующие их материаль­ные объекты в виде наглядных аналогов или макетов.

Символические(знаковые) модели – это условно-знаковые представления объектов или явлений (географические карты, структурные схемы механизмов, записи химических реакций, гра­фовые представления и т.д.).

Математические модели – это описания с помощью математических символов основных характеристик изучаемых объектов в виде уравнений, соотношений или алгоритмов и программ для ЭВМ.

В инженерных исследованиях наиболее широко распространены мате­матические мысленные, а также натурные и физические мо­дели.

3. Математическое моделирование

Самым общим методом научно-технических исследований является использо­ваниематематического моделирования.

В более узком представлении математической моделью на­зывают формальную зависимость между значениями параметров на вхо­де моделируемого объекта (процесса) и выходными параметрами.

В различных отраслях знаний этапы процесса моделирования приобретают свои специфические черты. Но во всех случаях можно выделить несколько этапов, присущих процессу моделирования в любой сфере:

1) постановка задачи моделирования;

2) составление математического описания изучаемого объекта;

3) вы­бор метода решения уравнений математического описания и реали­зация его в форме моделирующей программы;

4) установление соответ­ствия (адекватности) модели объекту.

Общую схему процесса математического моделирования можно представить следующим образом (рисунок 2).

Рисунок 2 - Этапы разработки математической модели

На этапе постановки задачи моделирования четко формулируют сущность задачи, принимае­мые допущения и те вопросы, на которые требуется получить от­веты, вы­деляют основные явления и элементы в объекте, изучают структуру объекта и основные зависимости, связы­вающие его элементы; формулируют гипотезы (хотя бы предва­рительные), объясняющие поведение и развитие объекта.

Этап составления математического описания - это этап форма­лизации задачи, выражения ее в виде конкретных математиче­ских зависимостей и отношений. Здесь для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение (или систему уравнений), отражающее его функ­ционирование. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Кроме того здесь же выполняется предварительный анализ о существовании решений составленных уравнений. Если удастся дока­зать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку зада­чи, либо способы ее математической формализации.

Также подготавливается исходная информация для моделирования, т.е. диапазоны изменения переменных, входящих в математическое описание объекта.

Этап выбора метода решения и разработки моделирующей програм­мы включает разработку алго­ритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Кроме того на этом этапе выполняется выбор наиболее эффективного метода решения из имеющихся. Под эффективностью имеются в виду быстрота получения и точность решения. Реализация метода решения выполняется сначала в форме алгоритма, а затем - в форме программы, пригодной для расчета на ЭВМ.

Этап установления адекватности модели является заключительным в последовательности этапов, выполняемых при ее разработке. Построенная модель должна верно качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса, т.е. она должна быть адекватна моделируемому процессу. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерений на объекте (оригинале) с результатами, полученными на модели в идентичных условиях.

Как видно из схемы, анализ результатов – это заключительный этап моделирования. Полученные данные представляют в виде графиков, таблиц, диаграмм, а также разрабатывают рекомендации по использованию результатов моделирования на изучаемом объекте.

Такая последовательность этапов может выполняться циклически.

Нужно отметить современные математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, и тогда час­то случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невоз­можно в короткий срок разработать новые алгоритмы и програм­мы, то исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число учитываемых факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточ­ных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми ус­ловиями и включающей уточненные математические зависимости.

4. Инструменты моделирования

Математическое моделирование выполняется, как правило, с использованием компьютерной техники. Следовательно, необходимо уметь решать различные задачи вычислительного характера, которые могут встретиться при моделировании (или по крайней мере знать, как это можно сделать).

Вычисления здесь понимаются в самом широком смысле: это и "привычные" математические операции, и разно­образные логические, применяющиеся при анализе различных взаимосвязей с целью выявления тех или иных причинно-след­ственных связей. Отсюда вытекает значимость одной из важных сторон математического моделирования - вычисли­тельных алгоритмов.

Для правильного распределения усилий исследователя, ресурсов ком­пьютеров необходимо знать основные особенности и области применения различных вычислительных методов, использую­щихся при моделировании и являющихся инструментом моделирования.

Среди вычислительных методов, применяемых при математическом моделировании, можно выделить числен­ные методы решения нелинейных уравнений и их систем, систем линейных уравнений, дифференциальных уравнений, вычисления интегралов, интерполяции и аппроксимации, методы поиска экстремума функций и функционалов и др. Многие из рас­смотренных классов методов используют при своей реализации в качестве вспомогательных методы других классов.

Таким образом, все это делает необходимым знание основ вычислительных методов, их особен­ностей и областей применения. Отдельные из этих вопросов рассмотрены в данном пособии.