Нахождение тангенса угла между прямыми заданными угловыми коэффициентами
Задача 1
Даны вершины А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15) треугольника АВС. Требуется найти:
а) уравнения сторон треугольника АВ, АС и ВС;
б) уравнения высот АL, BH и СK;
в) длины высот;
г) величины углов (в градусах, минутах и радианах);
д) уравнение биссектрисы BS;
Е) уравнение медианы СМ.
Решение:
а) Найдём уравнения сторон:
Уравнение стороны AВ или уравнение прямой проходящей через точки A(xA; yA) и В(xB; yB), имеет вид: ![]() ![]() | Уравнение стороны AС или уравнение прямой проходящей через точки A(xA; yA) и С(xC; yC), имеет вид: ![]() ![]() ![]() | Уравнение стороны BС или уравнение прямой проходящей через точки В(xB; yB) и С(xC; yC), имеет вид: ![]() ![]() |
б) Найдём уравнения высот:
определим сначала угловые коэффициенты высот:
AL^BС Þ kAL·kBC=-1 ![]() | ВH^AС Þ kBH·kAC=-1 ![]() |
найдём уравнения высот:
найдём уравнение высоты AL, как уравнение прямой, проходящей через точку A(xA; yA) в заданном угловым коэффициентом kAL направлении: у-уА=kАL(х-хА) 7х+24у-107=0 – общее уравнение прямой (высоты) AL. | найдём уравнение высоты BH, как уравнение прямой, проходящей через точку B(xB; yB) в заданном угловым коэффициентом kBH направлении: у-уB=kBH(х-хB) 3х-4у-3=0 – общее уравнение прямой (высоты) BH. | найдём уравнение высоты CK, как уравнение прямой, проходящей через точку _______ в заданном угловым коэффициентом ____ направлении: ____________ – общее уравнение прямой (высоты) CK. |
в) Найдём длины высот:
I способ:
Нахождение расстояния от точки до прямой
Пусть заданы прямая l: Ах+Ву+С=0, и точка М(х0; у0), тогда расстояние d от точки М до прямой l находится по формуле:
найдём |AL|, как расстояние от точки A(5; 3) до прямой ВС: 24х-7у+201=0 ![]() | найдём |BH|, как расстояние от точки B(-11; -9) до прямой AС: 4х+3у-29=0 | найдём |CK|, как расстояние от точки C(-4; 15) до прямой AB: 3х-4у-3=0 |
II способ:
Нахождение основания перпендикуляра, а затем вычисление длины высоты, как расстояния между двумя точками
Вычислим координаты точки L: L=ALÇВС | Вычислим координаты точки Н: Н=BHÇАС | Вычислим координаты точки К: K=CKÇАВ |
Итак, L( ; ) ![]() |
Строим чертёж:
y | ||||||||||||||||||||||||||||||||
x | ||||||||||||||||||||||||||||||||
г) Найдём величины углов:
I способ:
Нахождение тангенса угла между прямыми заданными угловыми коэффициентами
угол j,на который надо повернуть в положительном направлении прямую l1вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 находится по формуле:
Найдём величину угла А: ![]() | Найдём величину угла В: ![]() | Найдём величину угла С: ![]() |
II способ:
Нахождение косинуса угла между векторами (средствами векторной алгебры):
![]() ![]() |
д) Найдём уравнения биссектрис:
Для определения уравнения биссектрисы угла воспользуемся уравнениями двух прямых, образовавших этот угол, А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, тогда уравнения таких биссектрис имеют вид:
уравнения биссектрисы угла В АВ: 3х-4у-3=0 ВС: 24х-7у+201=0 Уравнения двух биссектрис угла В (внутреннего и внешнего) имеют вид: ![]() |
е) Найдём уравнения медиан:
медиана СМ, где М — середина АВ ![]() | |
Уравнение медианы СМ |
Задача 2.
Пусть точка А(-3; 2) - вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой х+3у-13=0. Найдите:
а) координаты вершин B, C и D;