Сложные линейные цепи

Цепь является линейной, если в её состав входят только линейные элементы, для которых справедлив закон Ома, то есть линейная зависимость между током и напряжением.

Для анализа цепей обычно задают сопротивление элементов цепи и электродвижущей силы. Определению подлежат токи в ветвях, потенциалы в узлах и падения напряжений на элементах. Физической основой являются закон сохранения, из которого следуют правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа.

Для любого узла алгебраическая сумма токов равна нулю. Токи, втекающие в узел, берутся со знаком “+”, вытекающие – со знаком “-”.

.

Второе правило Кирхгофа.

Для любого замкнутого контура сумма падений напряжений на элементах контура равна сумме ЭДС, входящих в этот контур.

.

Направление обхода контура выбирается произвольно. При написании суммы ЭДС имеет место правило знаков: если ЭДС проходится от “-” к “+”, то ЭДС берётся со знаком “+”, если ЭДС проходится от “+” к “-”, то ЭДС берётся со знаком “-”.

Если мы имеем ветвей и узлов, и неизвестны токи, то требуется решить линейных уравнений, чтобы найти эти токи.

Из первого правила Кирхгофа можно записать независимых уравнений для узлов. Уравнение называется независимым, если в него входит хотя бы один ток, не входящий в другие уравнения. Из второго правила Кирхгофа для падений напряжения записывается столько уравнений, сколько независимых контуров.

Контур называется независимым, если в него входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие контура.

Тогда независимых уравнений будет . Складывая эти уравнения, получаем независимых уравнений. Эти уравнения линейны, то есть получается система линейных уравнений.

Существует несколько методов расчета линейных цепей. Основным является метод контурных токов.

Введём понятие контурных токов. Под контурным током понимают воображаемый ток, замыкающийся только по своему независимому контуру. Это уменьшает количество уравнений на .

Из полученной системы находят уравнений эти условные токи, после чего действительные токи находят путём сложения всех контурных токов, протекающих по данной ветви. Задаётся условное положительное направление контурных токов; направление обхода контура обычно выбирают совпадающим с током. Если положительное направление контурного тока соседнего контура в общей ветви совпадает с положительным направлением контурного тока данного контура, то создаваемое этим током падение напряжения берётся со знаком “+”, в противном случае со знаком “-”.

Пример:

Запишем систему уравнений (согласно рисунку справа):

Из системы получаем:

, , , , .

Существует также эквивалентного генератора.

В сложной цепи выделяют ветвь, и по отношению к этой ветви всю остальную цепь заменяют эквивалентным генератором, который имеет соответствующую ЭДС и внутреннее сопротивление. ЭДС и внутреннее сопротивление находят, рассматривая два режима работы цепи: а) режим холостого хода и б) режим короткого замыкания.

Рассмотренные выше методы справедливы как для постоянного, так и для переменного тока.