Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений

Пусть Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля Р. Если в этой системе все свободные члены заменить нулями, то полученная система линейных однородных уравнений называется соответствующей однородной системой (это система (30)). Решения систем (25) и (30) удовлетворяют следующим свойствам:

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru (30) 10. Сумма решений данной неоднородной и соответствующей однородной системы линейных уравнений есть решение данной неоднородной системы. Пусть а – частное решение системы (25) и с – частное решение системы (30). Рассмотрим вектор (а + с).

Системы (25) и (30) в векторной форме имеют вид А×х = в (31) и А×х= 0 (32). По условию А×а = в, А×с= 0. Следовательно, А×(а + с) = А×а+ А×с= в + 0 = в. Следовательно, (а + с) – решение уравнения (31), а поэтому и системы (25).

20. Разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы.

Пусть а и с –решения системы (25), а следовательно, и уравнения (31), т.е. А×а = в и А×с = в. Тогда А×(а – с) = А×а – А×с= в – в = 0, т.е. (а – с) – решение уравнения (32), а поэтому и системы (30).

30. Если а – фиксированное частное решение системы (25), а с пробегает все решения системы (30), то (а + с) пробегает все решения системы (25).

Согласно 10, при любом свектор(а + с) будет решением системы (25). Если d – любое решение системы (25), то, согласно 20, разность (d – а) будет решением системы (30). Обозначив (d – а) = с, получим d = (а + с).

Теорема 29. Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а1, а2, …, аn–r – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид

d = а + С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r , где С1, С2, … , Сn–r – любые элементы поля Р.

(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.)

Доказательство является следствием предыдущих свойств.

Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано n-мерноелинейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис е = (е1, е2,… , еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .

Определение 30. Будем говорить, что система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга r с n переменными задаёт в любом n-мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (n–r )-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30.Если в линейномn-мерном пространстве Ln зафиксирован базис, то любое его к-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга (n – к).

Доказательство.Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2,… , еn ). Пусть Lк – линейное к-мерное подпространство в Ln . Выберем в Lк любой базис а = (а1, а2, … , ак). Пусть Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru В матричной форме а = е × А, где А = Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru .

Так как а – базис, то ранг матрицы А равен к.

Если d – любой вектор, то d Î Lк Û d = с1а1 + с2а2 + … +скак ,где с1, с2, … , ск независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде d = а × с, где с –столбец параметров. Отсюда d = е×(А×с). Если х – столбец координат вектора а в базисе е, то d = е×х. Отсюда, е×х = е×(А×с) и х = А×с. Распишем в координатном виде.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru Получили параметрические уравнения, определяющие Lк . После исключения параметров получится система (n – к) линейных однородных уравнений. Векторы а1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (а1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (n – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис е = (е1, е2, е3, е4 , е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = <а1, а2, а3>, если а1 = (1, –2, 2, 0, 1), а2 = (0, 4, 7, 0, 1), а3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (а1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг матрицы Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru . Минор Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru . Окаймляющий минор Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. векторы а1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

d Î L3 Û d = с1а1+ с2а2+ с3а3. Отсюда d Î L3 Û х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого второго и пятого уравнений выразить с1, с2 и с3 и подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений - student2.ru

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

VI. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Наши рекомендации