Задача 1. хорошая и плохая дорога. (фольклор).

Класс

Расстояние L = 120 км автомобиль проехал за время T = 2 часа. Его скорость на первом, хорошем участке пути, была на км/час больше средней скорости, а на втором, плохом участке, на км/час меньше средней скорости. Какова длина x хорошего участка пути?

Возможное решение. Средняя скорость автомобиля

км/час. (1)

Скорость автомобиля на первом участке пути

км/час. (2)

Скорость автомобиля на втором участке пути

км/час. (3)

Пусть на преодоление первого участка пути потребовалось время t₁.

Тогда, на преодоление второго участка потребуется время

. (4)

Длина первого участка пути

. (5)

Длина второго участка пути

. (6)

Поскольку

, (7)

это равенство можно, после соответствующих подстановок, привести к виду:

. (8)

Время

час. (9)

Искомая длина

65 км. (10)

Критерии оценивания.

(1) Найдена средняя скорость автомобиля 1 балл

(2) Найдена скорость автомобиля на первом участке пути 1 балл

(3) Найдена скорость автомобиля на втором участке пути 1 балл

(4) Записана связь между и 1 балл

(5) Выражение для длины первого участка пути 1 балл

(6) Выражение для длины второго участка пути 1 балл

(7) Записана связь между и 1 балл

(8) Записано уравнение для нахождения числового значения 1 балл

(9) Найдено время 1 балл

(10) Найдена длина x 1 балл

Задача 2. Система блоков. (Замятнин М.).

Благодаря механизму, состоящему из лёгких подвижных и неподвижных блоков (рис. 1), соединённых лёгким тросом, можно силой F = 50 Н удерживать груз массой m = 40 кг. Сколько подвижных и неподвижных блоков необходимо для удержания груза? Как устроен такой механизм? Изобразите схему соединения блоков с грузом. Ускорение свободного падения g = 10 Н/кг.

Возможное решение.

Вес груза Н. (1)

Система блоков должна дать выигрыш в силе в

раз. (2)

Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза. (3)

Таким образом, можно использовать четыре подвижных блока, обеспечивающих нужный выигрыш в силе, и ещё три неподвижных блока, для связи подвижных блоков. (4)

Другой способ соединения блоков заключается в следующем: каждый последующий подвижный блок удерживает предыдущий. В этом случае неподвижные блоки не требуются.

Схема соединения блоков в последнем из рассмотренных случаев приведена на рис. 2.

Критерии оценивания.

(11) Найден вес груза 1 балл

(12) Вычислен требуемый выигрыш в силе 1 балл

(13) Преимущество в силе, которое даёт подвижный блок 1 балл

(14) Определено количество подвижных блоков 3 балла

(15) Предложена схема соединений блоков 4 балла

Примечание: За любое правильное решение задачи (независимо от числа использованных блоков) ставится полный балл.

Задача 3. Плавление льда. (Фольклор). В пенопластовом стакане с крышкой лежит лёд. Его температура t_Л = 0ºC. В стакан налили такое же количество (по массе) воды, температура которой t_В = 20ºC. Сколько процентов льда от первоначального количества осталось в стакане к моменту установления теплового равновесия (выравнивания температуры воды и льда)? Удельная теплоемкость воды С_В = 4,2 кДж/(кг·ºC), удельная теплота плавления льда L = 330 кДж/кг.

Возможное решение. К моменту установления теплового равновесия температура воды понизится до t_Л = 0ºC. (1)

Запишем уравнение теплового баланса:

m_В С_В (t_В - t_Л) = Δm_Л L . (2)

где Δm_Л - масса расплавившегося льда.

Масса расплавившегося льда в стакане (с учётом того, что вначале M_Л = m_В)

. (3)

Масса оставшегося в стакане льда

m_Л = M_Л – Δm_Л = . (4)

Доля оставшегося льда

74,5% (5)

Критерии оценивания.

(16) Отмечено, что конечная температура смеси равна 0ºC 1 балл

(17) Записано уравнение теплового баланса 3 балла

(18) Получено выражение для массы расплавившегося льда 2 балла

(19) Получено выражение для массы оставшегося льда 2 балла

(20) Найдена доля оставшегося льда (в %) 2 балла

Задача 4. Скорость подъема воды. (Кармазин С.).

В воду, налитую в стеклянный цилиндрический сосуд квадратного сечения (длина внутренней стороны квадрата a = 10 см) опускают (относительно цилиндра) с постоянной скоростью υ_o = 8 мм/с стержень квадратного сечения (длина внешней стороны квадрата b = 6 см) (рис. 3). С какой скоростью υ₁ поднимается вода в цилиндре?

Возможное решение. Пусть за время t₀ стержень переместился в сторону дна цилиндра на расстояние h₀. При этом он вытеснил объем воды

V₀ = h_ob². (1)

Вытесненная вода поднялась выше исходного уровня на высоту h₁. Эту высоту найдём из условия:

V₀ = h₁(a² – b²).

Таким образом

(2)

Искомая скорость подъема воды

(3)

После числовой подстановки получим

(4)

Критерии оценивания.

(21) Найден объем воды, вытесняемой за время t₀ 2 балла

(22) Высота h₁ на которую поднялась вытесненная вода 3 балла

(23) Приведено выражение для определения скорости подъема воды 3 балла

(24) Получено числовое значение искомой скорости 2 балла