Изучение плоского движения при качении тел

Цель работы: познакомиться с плоским движением при качении тел, определить момент инерции тела.

Оборудование: наклонный желоб, секундомер, тела (кольцо, диск, шар).

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Плоскимявляется движение, при котором траектории точек тела лежат в параллельных плоскостях. Плоское движение можно представить двумя способами.

Пусть к телу в некоторой точке приложена сила F₀ (рис. 1). Приложим к особой точке тела, называемой центром масс, две равные и противоположные силы F₁ и F₂, параллельные и равные силе F₀. Под действием силы F₂ тело совершает поступательное движение, а пара сил F₀ и F₁создает момент сил M₀ = F₀c, под действием которого тело вращается. Итак, тело одновременно движется поступательно со скоростью центра масс и вращается вокруг оси, проходящей через центр масс.

Возможно другое представление плоского движения. Пусть скорость точки О – центра масс тела равна (рис. 1). Проведём в плоскости движения перпендикуляр АОС к вектору скорости V₀. Так как тело твёрдое, то линия, огибающая векторы скоростей точек на АОС, является прямой линией. Она и перпендикуляр пересекутся в некоторой точке С, скорость которой равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось вращения, относительно которой тело совершает только вращательное движение. Положение мгновенной оси со временем меняется.

Примером плоского движения является качение колеса по плоскости. Если проскальзывания нет, то мгновенная ось вращения совпадает с линией касания колеса с плоскостью, перемещаясь по мере движения по плоскости.

Соответственно двум способам представления плоского движения уравнениями динамики могут быть: либо основной закон динамики вращательного движения относительно мгновенной оси

, (1)

либо система уравнений второго закона Ньютона для поступательного движения тела с ускорением центра масс и основного закона динамики вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс:

и (2)

В уравнениях J₀ и J_с – моменты инерции тела относительно выбранных осей вращения О или С. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении и по определению равен сумме произведений масс m_i (dm)частиц тела на квадраты их расстояний r до оси вращения: .

Соотношение между моментами инерции J₀ и J_c можно установить, если подставить в уравнение (1) момент силы F относительно мгновенной оси С: . С учетом уравнений (2) и ускорения получим

. (3)

Это уравнение теоремы Штейнера:момент инерции тела относительно произвольной оси С равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс О, параллельной данной оси С и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для экспериментального определения момента инерции тел вращения рассмотрим скатывание тел под углом a к горизонту (рис. 2). Представим скатывание тела как вращение вокруг мгновенной оси С под действием силы тяжести.Плечо силы тяжести относительно
оси С равно . Тогда момент силы тяжести М = .
Другие силы N и F_сц (нормального давления и сцепления) вращающего момента силы относительно С не создают

→

→

.

Подставив в уравнение динамики вращательного движения относительно оси С (1) формулы момента силы тяжести, момента инерции и углового ускорения , получим . Откуда формула для экспериментального определения момента инерции тела относительно оси О, проходящей через центр масс, будет иметь вид

. (4)

Для тел вращения (кольцо, диск, шар) момент инерции можно рассчитать теоретически по определяющей формуле, взяв интеграл . Для кольца получим J_к = m R²; для шара ;
для диска .

В эксперименте более важно определить не само значение момента инерции, а коэффициент формы тела , которое не зависит ни от массы, ни от радиуса. Теоретическое значение для кольца К_к = 1, для диска К_д = 0,5, для шара К_ш = 0,4. Из формулы (4) получим

. (5)

Ускорение а можно определить по времени скатывания телом некоторого расстояния S по уравнению кинематики . Установка с наклонным желобом (рис. 3) имеет семь секундомеров, измеряющих время движения тела до семи фотоэлементов. Если представить уравнение кинематики в виде линейной зависимости средней скорости движения до каждого фотоэлемента от времени , то угловой коэффициент линии будет равен половине ускорения.

Построив на экспериментальной линии графика как на гипотенузе прямоугольный треугольник (рис. 4), можно определить ускорение по координатам вершин:

, (6)

затем по формуле (5) рассчитать коэффициент формы скатываемого тела.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Включить блок питания в сеть 220 В. Установить некоторый угол наклона желоба. Расположить одно из тел (кольцо, диск, шар) около верхнего упора. Отпустить. Повторить опыт несколько раз и убедиться в повторяемости показаний секундомеров. Записать по данным одного из опытов в табл. 1 время скатывания до всех фотоэлементов.

Путь S, м	0,07	0,14	0,21	0,28	0,35	0,42	0,49
Время t. c
Скорость <V> , м/c

Таблица 1

Выключить установку.

2. Произвести расчеты. Определить среднее значение скорости скатывания до каждого фотоэлемента . Результаты записать в табл.1.

3. Построить график зависимости средней скорости от времени скатывания до каждого фотоэлемента. Размер графика не менее половины страницы. Около экспериментальных точек провести прямую линию. На экспериментальной линии как на гипотенузе построить прямоугольный треугольник.

Таблица 2

Угол наклона α, град
g sin α, м/c2
Форма тела…. Ктеор
Ускорение a, м/с2
Кэксп

4. Рассчитать по координатам вершин А и В среднее ускорение по формуле (6). Определить среднее значение параметра К_экс по формуле (5) . Записать в табл. 2 результаты расчета.

5. Сравнить экспериментальное значение параметра с теоретическим значением. Оценить абсолютную погрешность . Записать результат измерений , Р = 0,9.

Сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение плоского движения. Каким образом можно представить плоское движение? Дайте определение мгновенной оси. Каким образом можно установить ее положение?

2. Запишите уравнения динамики для плоского движения в двух способах представления движения.

3. Дайте определение момента силы, плеча силы. Запишите формулу для момента силы тяжести тела на наклонной плоскости.

4. Дайте определение момента инерции. Выведите и сформулируйте теорему Штейнера.

5. Выведите расчётную формулу для определения момента инерции тел, скатывающихся с наклонной плоскости.

6. Запишите формулы момента инерции для кольца, диска, шара относительно оси симметрии.

Работа 9