Симметриялық теңдеулер туралы ұғым
Симметриялық теңдеу
бүтін алгебралық теңдеуі. Егер
болған жағдайда симметриялық деп аталады.
1.Егер n = 2k болса, онда теңдеудің екі бөлігін бөлу арқылы пара-пар теңдеуге көшеміз.
Және теңдеу жаңа белгісізді енгізу арқылы k дәрежелі теңдеуге жалғасады
y = .
2.Егер n = 2k+1 болса, онда x = теңдеудің түбірі болады. x+1 бөлгенде теңдеуді n = 2k дәрежелі симметриялыұ теңдеуге әкеледі.
1-мысал. теңдеуін шешу керек.
Шешуі.Бұл төртінші дәрежелі симметриялыұ теңдеу бөлеміз.
2 - 3x – 16 - 2( ( .
y = болса, онда
+2, ) – 3y – 16 = 0, 2 - 3y – 20 = 0
= -4, .
, + 4x + 1 = 0, ,
,
Жауабы; -2
2-мысал. теңдеуін шешу керек.
бөлеміз сонда
2 - 3x – 19 -
2( (
Егер t = онда =
2 ) – 3t – 19 = 0, 2 - 3t – 27 = 0
= -3,
x-ке қайта оралып квадраттық теңдеулерге келеміз:
, 2 + 3x + 2 = 0, = -2 = -1;
2 - 9x + 4 = 0, = 4.
Жауабы: -2, -1, , 4.
Айнымалы және симметриялық теңдеулер дәрежелерінің төмендеуі
Бірнеше анықтаманы беріп, теореманы құрайиыз.
Анықтама.
0
Түріндегі теңдеу, егер теңдеу дәрежесі тақ болса, және жұп болған жағдайда
0,
Теңдеуі - айнымалы теңдеу деп аталады.
Мысалдар:
1- Теорема:Тақ дәрежелі айнымалы теңдеудің x = - λ түбірі бар.
2- Теорема: Тақ дәрежелі айнымалы теңдеудің сол және оң бөліктерін x + λ бөлу нәтижесінде жұп дәрежелі айнымалы теңдеу шығады.
2-теоремаға сәйкес тақ дәрежелі айнымалы теңдеудің жұп дәрежелі теңдеудің шешімене сәйкес келеді.
3- Теорема: 2n жұп дәрежелі y = айнымалы теңдеуі наұты сандар аумағында n дәрежелі жане n екінші дәрежелі теңдеулерге сай келеді.
Мысалы.
теңдеуін шешу керек.
Шешуі; Бұл теңдеу –тақ дәрежелі айнымалы, . 1- теоремаға сәйкес бұл теңдеудің түбірі бар . Теңдеудің екі бөлігін x бөлеміз. 8- 8- дәрежілі теңдеуді аламыз.
Бұл теңдеу – жұп дәрежелі айлымалы, , былайша жазуға болады;
Осы теңдеудің дәрежесін x көмегімен төмендетеміз. Теңдеудің сол бөлігін бөліп, теңдеу мүшелерін топтастырамыз;
2
Сонда y кезінде
Қондырғыны қоямыз. Белгісіз у үшін теңдеуін аламыз.
4- дәрежелі теңдеуді шешіп№
= 1, = 2, = 3, = аламыз
теңдеулерін шешу қажет.
: = , = 1, = 2,
Анықтама.n- дәрежелі теңдеу егер оның коэффициенттері және
Кезінде тең болса – симметриялық деп аталады. Осылайша симметриялық теңдеу келесі турде жазылады;
0
Симметриялық теңдеу айнымалы теңдеудің жеке түрі болып табылыды
(мұндағы λ=1).
Мысалы. ; және ;
Айнымалы теңдеулер туралы 1 және 2 теоремалардан келесі теоремалар туындайды.
4- теорема: Тақ дәрежелі симметриялық теңдеудің -1 түбірі бар.
5- теорема: Тақ дәрежелі симметриялық теңдеуді x+1 бөлу нәтижесінде жұп
дәрежелі cимметриялық теңдеудеу шығады.
6- теорема: 2n жұп дәрежелі симметриялық теңдеуді y = қондырғысымен
нақты сандар аймағында n дәрежелі және n екінші дәрежелі теңдеулерге сай келуі мүмкін.
Симметриялық теңдеулер де айнымалы теңдеулер амалдарымен шешіледі.
Мысалы. теңдеуін шешу керек.
Шешуi: Теңдеудің екі бөлігін бөліп;
- 2x – 7 – 4 теңдеуін аламыз.
Одан ( ( шығады
Сонда = 2 - 3a – 3 = 0 теңдеуін аламыз. = -3, екенін табамыз. Енді
квадраттық теңдеулерін шешу керек.
Жауабы: , ,
Мысалы: теңдеуін шешу керек.
Шешуі: Бұл теңдеуді x = - 1 түбірі бар№ өйткені ол тақ дәрежелі симметриялық теңдеу. Теңдеудің екі бөлігін бөлеміз және бірінші мүшені соңғысымен, екіншісін соңғының алдыңдағысымен және т.с.с. біріктіреміз, одан шығатыны:
( (
қоямыз. Сонда = және болады. Белгісіз y үшін теңдеуі бар. Бұл теңдеудің тек жалғыз түбірі бар –y = 1.
теңдеуінің түбірі болмайтыны анық.
Жауабы: x = -1