Ыздырудың деформацияланған металдың құрылымы мен қасиетіне әсері

Металды қыздырған кезде, ода қайтару, полигонизация және рекристализация процестері жүреді. Осы процестер деформацияға дейінгі металдың барлық қасиеттерін орнына келтіреді.

Қайтару және полигонизация. Салыстырмалы төмен температураға дейін металды қыздырған кезде (әдетте 0,2÷0,3 Т_пл; мұндағы Т_пл – температураның абсолютті шкаласы бойынша көрсетілген балқу температурасы), ода қайтару процесі басталады. Қайтару процесі деп металл құрылымы ақауларының тығыздығын азайту нәтижесінде қақталған металдың құрылымдық жетілгендігін жоғарлатуды айтады. Бірақта осы кезде деформацияланған күймен салыстырғанда жарықтық микроскоп астында көрінетін құрылымдық өзгеру әлі байқалмайды.

Қайтару процесінде екі сатыны айырады. Төменгі температурада (0,2 Т_пл төмен температурада) қайтарудың бірінші сатысы жүреді. Осы сатыда нүктелік ақаулардың (вакансиялар) азайуы және жаңа субшекаралар пайда болмай дислокацияның көп емес қайта топтануы жүреді.

Қыздырғанда дислокациялардың қайта таралуы жүріп, артық вакансиялар мен түйіршік аралық атомдар, осы дислокациялармен сіңірілініп алынады. Осымен бірге түйіршіктер шекарасына вакансиялардың құйылуы жүреді. Осылардың бәрі нүктелік ақаулардың шоғырланып орналасуын азайтады. Ары қарай ваканциялар және түйіршік аралық атомдар кездескен кезде, олар энергияны азайтып әсерлеседі.

Қайтарудың келесі сатысы полигонизация деп аталады. Жоғарырақ температураға дейін металды қыздырған кезде (жуықты 0,2÷0,3 Т_пл) кішкентай бұрышты шекарасы бар субтүйіршіктерге кристалдардың бөлінуін (фрагментациясын) полигонизация деп түсінеді.

Полигонизация процесін түсіндіру үшін келесі дислокациялық механизм ұсынылған. Кристалды деформациялаған кезде, мысалы иген кезде, сырғу жазықтығында тәртіпті таралмаған дислокациялар пайда болады. Өзіндік диффузия жүруге жеткілікті температураға дейін металды қыздырған кезде, әр түрлі таңбасы бар дислокациялар жойылады (аннигиляцияланады), ал бір таңбалы артық дислокациялар дислокациялық қабырға болып сапқа тұрады. Осының бәрі, монокристалда немесе поликристалдың түйіршіктерінде дислокациялары жоқ субтүйіршіктерді шектейтін субшекараларды пайда болғызуға алып келеді. Осы классикалық типті полигонизация процесі 0,25÷0,3 Т_пл температурасына дейін металды қыздырған кезде, мөлшері бойынша үлкен емес деформациядан кейін жүреді.

Уақытты көбейткенде немесе температураны жоғарлатқанда субтүйіршіктердің үлкеюі және олардың көлемін дислокациядан тазалау беріктенуді азайтуға алып келеді. Осындай да субтүйіршіктер үлкен өлшемге дейін өсуі мүмкін (~ 10 мкм). Полигонизацияның осындай ақырғы сатысын орнындағы рекристаллизация деп атайды.

Рекристаллизация. Бірінші рекристаллизация. Температураны ары қарай жоғарлатқанда атомдардың қозғалу мүмкіндігі жоғарлайды және белгілі бір температураға жеткенде жаңа тең осьті түйіршіктер пайда болады.

Металды рекристаллизацияның температуралық табалдырығы t_п.р деп аталатын температураға дейін қыздырғанда деформацияланған түйіршіктер сақталады. t_п.р температурасында деформацияланған металда бұрмаланбаған торы бар жаңа түйіршіктердің туындысы өседі. Осы туындылар ұяның басқа бөлімдерінен үлкен бағытталу бұрыштарымен (үлкен бұрышты шекарамен) бөлінген. Бәлкім жаңа түйіршіктер дислокациялар жоғары тығыздықпен орналасқан бөлімдерде пайда болады, яғни деформацияланған түйіршіктер шекарасында немесе түйршіктер ішіндегі ығысу жазықтығында. Өйткені айтылған жерлерде тордың ең үлкен бұрмалануы шоғырланған. Жаңа түйіршіктер пайда болғаннан кейін, осы түйіршіктер оларға деформацияланған бөлімдерден атомдардың өтуінің нәтижесінде өседі.

Қақталған металды қыздырған кезде ескі түйіршіктер қайта қалпына келмейді, яғни бастапқы түйіршіктерден өлшемдері бойынша едәуір айырмашылықта болатын мүлде жаңа түйіршіктер пайда болады. Деформацияланған металдың бағытталған талшықтық құрылымның орнына тең осьті жаңа түйіршіктердің пайда болуын өңдеудің рекристаллизациясы немесе бірінші рекристаллизация деп атайды.

Рекристаллизацияның нәтижесінде қақталма толық алынып тасталынады және металдың қасиеттері өздерінің бастапқы мәндеріне жақындайды. Беріксіздену тордың бұрмалануын алып тастаумен және дислокация тығыздығының тез азаюымен түсіндірілінеді. Дислокацияның тығыздығы рекристаллизациядан кейін 10¹⁰ ÷ 10¹² мөлшерінен 10⁶ ÷ 10⁸ см^-2 мөлшеріне дейін азайады. Металда беріксіздену жүріп рекристаллизация өтетін немесе рекристаллиза басталатын ең кіші температураны рекристаллизацияның табалдырығы деп атайды. Осы температура, мысалы балқу температурасы сияқты тұрақты мөлшер болып саналмайды. Берілген металл (қорытпа) үшін температуралық табалдырық қыздыру ұзақтылығынан, алдыңғы деформацияның дәрежесінен, деформацияға дейінгі түйіршік мөлшерінен және т. б. тәуелді болады. Рекристаллизацияның температуралық табалдырығы деформацияның дәрежесі жоғары, қыздыру ұзақтылығы үлкен немесе деформацияға дейінгі түйіршік мөлшері кішкене болған сайын төмен болады.

Едәуір деформацияны алған металдардың рекристаллизациясы басталатын температурасы t_п.р техникалық таза металдар үшін жуықты 0,4Т_пл (Бочвар А.А. ережесі бойынша), таза металдар үшін (0,1÷0,2) Т_пл тең болады, ал қатты ерітінді қоспалары үшін (0,5÷0,6)Т_пл дейін үлкейеді.

Қақталманы толық алып тастаған кезде, рекристаллизацияның жоғарғы жылдамдығын және оның толық өтуін қамтамасыз ету үшін металды тым жоғары температураға дейін қыздырады. Осындай термиялық өңдеу рекристаллизациялық босаңдату деген атты алды.

Кейбір жағдайда беріктікті едәуір азайтпай илемділікті жоғарлатып, қалдық кернеуді азайтып және жегідеге шыдамдылықты жоғарлату үшін босаңдатуды рекристаллизация температурасынан төменгі температурада жүргізеді, яғни рекристаллизацияға дейінгі босаңдатуды қолданады. Осындай босаңдату полигонизацияланған құрылымды орнатуға алып келеді. Айтылған босаңдатуға кейбір алюминилік және магнилік қорытпаларды, ал тағы да серіппелік қасиеттерді жақсарту үшін мыс қорытпаларынан жасалған серіппелер мен қаңылтақтарды түсіреді.

Жинау рекристаллизациясы. Бірінші рекристаллизация аяқталғаннан кейін, келесі қыздыру процесінде үлкен бұрышты шекаралардың қозғалуы жолымен бір рекристаллизацияланған түйіршіктердің басқа рекристаллизацияланған түйіршіктер есебінен өсуі жүреді. Сонда ойық шекарасы бар түйіршіктер дөңес шекарасы бар түйіршіктерді «жейді» деп айтуға болады. Ойық бетіндегі атомдарда көп көрші атомдар бар, демек дөңес бетінде орналасқан атомдармен салыстырғанда олар аз энергияға ие болады. Нәтижесінде шекаралар қисықтық центрі бағытында ығысады. Жиі дөңес шекаралар кішкентай түйіршіктерде, ал ойық шекаралар үлкен түйіршіктерде бар болатындықтан, үлкен түйіршіктер өскен кезде кішкентай түйіршіктер жоқ болып кетеді. Жаңа рекристаллизацияланған түйіршіктердің өсу процесін жинау рекристаллизациясы деп айтады. Жинау рекристаллизациясының негізгі себебі болып, түйіршіктер өскен кезде шекараның ұзындығының кішірею арқасында түйіршіктің шекаралық (беттік) энергиясын кішірейтуге ұмтылу саналады. Екінші фазаның дисперсті бөлшектері түйіршіктердің өсуін тежейді. Кірменің көлемдік үлесі көп болған сайын және олардың дисперстілігі жоғары болған сайын түйіршіктер өлшемі кішкентай болады.

Екінші рекристаллизация. Егер рекристаллизацияның сатысында кейбір жаңа түйіршіктерге өсу үшін жақсы жағдай жасалса, онда осындай сатыны екінші рекристаллизация деп атайды.

Үлкен жылдамдықпен өсетін түйіршіктерді шарты түрде туындылар орталығы ретінде қарауға болады. Сондықтан олардың өсу процесі екінші рекристаллизация деген атты алды. Екінші рекристаллизацияның нәтижесінде көптеген ұсақ тұйіршіктер және саны бойынша кішкентай тым ірі түйіршіктер пайда болады. Бәлкім екінші рекристаллизация жеке түйіршіктердің өсу үшін қажетті жақсы кристаллографиялық бағыттармен, басқа түйіршіктермен салыстырғанда ақаулардың концентрациясының аздығымен (көлемдік энергияның мөлшерімен) және кірмелердің бөлінуінің біркелке емес болуы нәтижесінде шекараның тым жоғары жылжымалылығымен шақырылынады. Көптеген жағдайда екінші рекристаллизацияның себебі болып, бірінші рекристаллизация кезінде пайда болған көптеген түйіршіктердің өсуін кірмелердің дисперсті бөлшектерімен тежеу саналады. Ірі түйіршіктердің пайда болуына және әр түйіршіктікті құрылымға алып келетін екінші рекристаллизация, металдардың механикалық қасиетін кішірейтуге мүмкіндік туғызады.

Рекристаллизациядан кейінгі түйіршіктер өлшемі. Рекристаллизацияланған түйіршіктердің өлшемі металдың қасиетіне үлкен әсерді тигізеді. Кішкентай түйіршігі бар металдар мен қорытпалар жоғары беріктікке және тұтқырлыққа ие болады. Бірақта кейбір жағдайда металл ірі түйіршікті болу қажет. Сөйтіп трансформаторлы болат немесе техникалық темір ең жоғары магниттік қасиетке ірі түйіршіктікті болған кезде ие болады. Суықтай илемді деформациядан және рекристаллизацидан кейін түйіршіктер өлшемі бастапқы түйіршіктен үлкен немесе кіші болуы мүмкін. Түйіршіктер өлшемі рекристаллизациялық босаңдатудың температурасынан, осы босаңдатудың ұзақтылығынан, алдынғы деформацияның дәрежесінен, қорытпаның химиялық құрамынан, бастапқы түйіршіктердің өлшемінен, ерімейтін кірмелердің бар болуынан және т. б. тәуелді болады. Берілген деформация дәрежесінде температура жоғарлаған сайын және босаңдатудың ұзақтылы үлкейген сайын түйіршіктер өлшемі өседі. Рекристаллизациянған түйіршіктердің өлшемі деформация дәрежесі үлкен болған сайын кіші болады. t_п._р температурасынан жоғары температурада рекристаллизацияланған түйіршіктердің пайда болуы лезде жүрмейді. Осы түйіршіктердің пайда болуы кейбір уақыттан кейін, яғни инкубациялық мерзімнен кейін жүреді.

Өте кішкентай деформация дәрежесімен өңделген металды қыздырған кезде айтылған қыздыру рекристаллизацияға алып келмейді. Деформацияның дәрежесі 3 ÷ 15 % болған кезде түйіршіктер өлшемі босаңдатудан кейін тез үлкейеді және бастапқы түйіршіктердің өлшемінен сан рет артып кетеді. Осындай деформация дәрежесін межелік деп атайды. Межелік деформация дәрежесімен жаншығаннан кейін, жаңа түйіршіктердің пайда болуы және өсуі рекристаллизация механизмі бойынша жүрмейді. Межелік деформация дәрежесімен өңдеуге түскен металды қыздырса, бастапқы рекристаллизацияланбаған түйіршіктердің біреулері көршілерін сіңіру есебінен тез өседі. Екінші рекристаллизациямен ұқсас рекристаллизацияның осындай механизмі, кішкентай деформация дәрежесінде әр түрлі түйіршіктердің біркелкі емес деформациялануымен түсіндіруге болады. Сондықтан қыздырған кезде, кішкене деформацияланған түйіршіктердің өсу мүмкіндігі пайда болады, яғни бос энергияның төменгі мәніне ие болған түйіршіктер өседі. Осы өсу тым деформацияланған түйіршіктердің есебінен, яғни үлкен бос энергиясы бар түйіршіктердің есебінен жүреді. Межелік деформация дәрежесі босаңдату температурасы жоғары болған сайын кішкене болады.

Демек, межелік деп одан жоғары деформация дәрежесін қолданғанда қыздырудан кейін бірінші рекристаллизация мүмкін болатын ең кіші деформация дәрежесін айтады.

Осыны, деформацияның дамуымен дислакацияның жоғары тығыздығы бар бөлімдер саны көбейетіндігімен, демек рекристаллизациялық көлемнің пайда болу мүмкіндігі үлкейетіндігімен түсіндіруге болады. Жоғары деформация дәрежесінде рекристаллизациялық көлемнің пайда болу жылдамдығы, олардың өсу жылдамдығынан артып кетеді. Демек осы ұсақ түйіршіктердің пайда болуын алдын ала анықтайды.

Түйіршіктер өлшемінің температурадан және деформация дәрежесінен тәуелділігін жиі рекристаллизация диаграммасы түрінде бейнелейді. Осы диаграммалар бастапқы жорамалмен рекристаллизациялық босаңдатудың режімін таңдауға мүмкіндік береді [4].

Негізгі әдебиеттер: [2] (тарау 1, бет 9 – 42); [4] (тарау 8, бет 43 – 91).

Қосымша әдебиеттер: [5] (тарау 3, бет 106 – 182; тарау 4, бет 183 – 223; тарау 5, бет 223 – 259; тарау 6, бет 259 – 291; тарау 7, бет 300 - 408).

Бақылау сұрақтары:

1. Металдың илемді деформациясы қалай жүреді?

2. Сырғумен деформация қалай жүзеге асады?

3. Егізделумен деформация қалай жүзеге асады?

4. Дислокацияның пайда болу механизмі қандай?

5. Қайтару процесі дегеніміз не?

6. Полтигонизация процесі дегеніміз не?

7. Рекристаллизация процесі дегеніміз не?

8. Рекристаллизация процесі қандай түрлерге бөлінеді?

№4 дәріс. Кернеу және кернеу күйі

Нүктедегі кернеу күйі. Металдарды қысыммен өңдеу процестері дененің өлшемі мен пішінін өзгертуге, яғни сыртқы күштің әсерінен деформациянның пайда болуына негізделген. Сыртқы күштер беттік (баспақ күші, тоқпақ саққысы және т.б) және көлем элементіне түсірілген көлемдік (массалық) болуы мүмкін.

Осы күштердің негізгі ерекшеліктеріне олардың дене көліменде немесе бетінде үздіксіз таралуын жатқызу қажет.

Тығыздық. S бетімен шектелген кейбір D денесі берілсін (4.1, а сурет). Берілген дененің ішінен өз еркімізбен бір М нүктесін алайық. Осы нүктенің айналасынан ∆W элементарлы көлемін бөлейік. Көлемнің массасы ∆m болсын.

қатнасын құрастырайық та элементарлы көлемнің өлшемдерін нөльге қарай ұмтылдырайық. Осылай алатын мынандай мөлшерді: (4.1)

М нүктесіндегі орта тығыздығы деп атайды.

а – беттік, сыртқы массалық күштер; б – ішкі кернеулер

4.1 – сурет. Беттік, сыртқы массалық күштер және ішкі кернеулер

Массалық сыртқы күш. Бөлінген элементке әсер ететін сыртқы күштің бас векторы -ға тең болсын. қатнасын құрастырайық та және мынандай шекті есептейік:

. (4.2)

Шектікке өтудің нәтижесінде алынған векторлық мөлшер сыртқы массалық күш деп аталады.

Беттік сыртқы күш. Сыртқы күштер белсенді күштер болып саналады. Өйткені денені өңдеу процесінде осы күштер денеге түсіріледі. Белсенді күштердің әсер етуі ылғида реактивті күштердің пайда болуын шақырады. Реактивті күштерге, мысалы металдарды қысыммен өңдеу процестерінде маңызды рольді атқаратын, үйкеліс күші жатады.

Сыртқы нормалы болатын ∆S беттік элементті бөлейік. Осы элементке күштер әсер етеді. Осы күштердің басты векторы -ға тең болсын. Элемент өлшемдерін нөльге ұмтылдырайық. Коши кернеуі принципіне сәйкесті бет элементі М нүктесіне жиналған кезде қатнасы шегіне ұмтылады, яғни . (4.3)

Осы мезілде М нүктесіне қатысты басты момент нөльге ұмтылады. Нәтижелеуші векторын (аудан бірлігіне қатысты күш) нормалі бар аудандағы М нүктесіне әсер етуші беттік кернеудің векторы деп атайды.

Ішкі кернеулер. Деформациялаған кезде атом арасындағы ара қашықтық өзгереді. Демек атомдар арасындағы тепе-теңдікті бұзуға алып келетін атомдардың әрекеттесу күші өзгереді. Нәтижесінде сыртқы күш қарсы әрекетке кездеседі. Осы ұқсастығына қарай ішкі күштер деп аталған. Егер дене тепе-теңдікте болатын болса, онда сыртқы және ішкі күштер теңестірілген болады.

Бастапқы кезде қаралған D денесіне қайта оралайық және оны бетімен ойымызда D₁ және D₂ екі бөлімдеріне кесіп өтейік (4.1, а суреті). Дененің D₂ бөлігін алып тастайық. Қалған D₁ бөлігі тепе-теңдікте болуы үшін бөлінген жердің бетіне кейбір күш жүйесі әсер етуі қажет. Осы күш жүйесін жоғарыда ішкі күш деп атадық. Бөлінген бетінен М нүктесін алайық және осы нүктенің айналасынан элементарлы бетін бөлейік. Осы элементарлы беттің нормалі болсын (4.1,б сурет). Сыртқы нормаль жақтан бетіне түсірілінетін күштің бас векторы –ға тең болсын. Жоғарыда айтылған пікірді қайталап шектікке өтумен ішкі кернеу векторын былай аламыз: . (4.4)

Осы кернеу сыртқы нормалі бар бағытты алаңға әсер етеді. Мұндағы ерекше маңыздылық болып бетінің, демек –нің еркін бағытталуы саналады.

Қаралатын нүкте арқылы көптеген беттерді жүргізіп, осы беттердің әрбіреуінде алаңшасын бөліп және осы бөлінген алңдарға сәйкесті кернеулерді анықтауға болады.

Сонымен тұтас орта механикасында таралған күш қаралады, ал таралған күштің үдемелі қарқындылығы кернеу деп аталады.

Жоғарыда айтқанмен байланысты М нүктесі арқылы өтетін және ортасына нормальді алаңдарды таңдайық. Осындай алаңдар ретінде элементарлы кубтың қабырғаларын қолданған ыңғайлы. Көрсетілген нүктенің айналасында салынған осы элементарлы кубтың қырлары координатты остеріне паралельді болуы қажет (4.2 сурет).

ортасына перпендикулярлы алаңда сыңарлары бар кернеу векторы әсер етеді, яғни = ( ). Осыған ұқсас басқа екі алаңда мынандай кернеу векторлары әсер етеді: = ( ) және = ( ) (1,2,3 – σ мөлшерінің дәрежесі емес, олар осы мөлшердің көрсеткіші).

а – кернеу векторының әсері; б – кернеудің нормальды және жанама сыңарлары

4.2 - сурет. Элементарлы кубтың қабырғасындағы кернеулер

Матрицаны құрастырайық

(4.5)

және осы матрицаның сыңарларының физикалық мағынасын қарап талқылайық.

Матрицаның қиғаш сызықтағы элементері кернеудің нормальды сыңарлары деп аталады. Өйткені осы кернеулер кернеу векторының алаң нормальдарына проекциясы болып саналады (4.2 сурет). Матрицаның бүйірдегі элементтері кернеудің жанама сыңарлары деп аталады (4.2 сурет).

Кернеу сыңарларының таңбасы ережесін талқылайық. Егер нормальды кернеу денені созатын болса, онда оның таңбасы оң болады (осындай жағдайда кернеу қаралатын дененің бөлімінде жататын аланның сыртқы нормалі бойынша бағытталған). Егер нормальды кернеу денені қысатын болса, онда оның таңбасы теріс болады (соңғы жағдайда кернеу дененің берілген бөлімі үшін ішкі нормальмен бағытталған).

Егер алаңдағы сыртқы нормаль координатты осьтің бағытымен бағыттас болса, онда жанама кернеудің оң бағыты деп лайықты координатты осьтің оң бағыты қабылданады. Егер алаңдағы сыртқы нормаль кооординатты осьтің бағытына қарама-қарсы болса, онда осы алаңдағы жанама кернеудің оң бағыты деп лайықты координатты осьтің теріс бағыты қабылданады.

Көлбеген алаңдағы кернеу. Координатты оське перпендикулярлы алаңға әсер ететін кернеу векторлары белгілі болса, онда кез келген алаңдағы кернеулер векторын табуға болатындығын көрсетейік.

Нүкте М арқылы нормалі бар алаң жүргізейік және элементарлы тетраэдр салайық. Осы тетраэдр жүргізген алаңбен координатты оське перпендикулярлы жазықтықтардың қилысуы арқылы салынған (4.3 сурет).

АВС қабырғасының ауданы тең болсын. Онда басқа қабырғалардың аудандары мынаған тең болады: мұндағы – нормалінің координатты оське проекциясы.

а – көлбеген алаңдағы кернеу; б – тетраэдрдің кернеу күйі 4.3 – сурет. Элементарлы тетраэдр

Тетраэдрдің қабырғасына әсер ететін күштер мынаған тең: АВС қабырғасына – ОВС қабырғасына – ОАС қабырғасына – ОАВ қабырғасына –

Тетраэдрдің қабырғаларындағы лайықты нормальдер орталарына қарама қарсы болғандықтан жоғарыдағы формулаларда теріс таңба пайда болады.

Тетраэдрге мынандай массалық сыртқы күш әсер етеді: мұндағы – тетраэдрдің массасы; – тетраэдрдің көлемі; – М нүктесіндегі орта тығыздығы.

Қарауымызға мынандай инерциялық массалық күшті кіргізіп:

( нүктесіндегі материалды бөлшектің үдеуі) және Даламбер негіздерін қолданып абсолютті қатты дене сияқты тетраэдерге түсірілген күштердің басты векторы нөльге тең болатын мынандай шартты жазайық:

.

Осы теңдіктің екі жағында қа бөліп мынаны аламыз:

Тетраэдр өлшемдерін нөльге қарай ұмтылдырайық. Осы кезде тетраэдр М нүктесіне жиыстырылады. қатнасы да нөльге ұмтылады, өйткені шамасы тетраэдрдің сызықтық мөлшерінің үшінші дәрежесіне, ал шамасы осы мөлшердің екінші дәрежесіне тең болады.

Нәтижесінде мынандай Кошидің векторлық формуласын аламыз: . (4.6)

кернеуін және әрбір кернеулерін координатты осьтерге проекциялап (4.3, б сурет) мынаны аламыз: (4.7)

(4.8)

проекциясының бірінші көрсеткіші кернеуі әсер ететін алаңының көрсеткішімен дәл келеді, ал екінші көрсеткіші кернеуі прекцияланатын осінің көрсеткішімен дәл келеді.

(4.7) және (4.8) формуласын (4.6) теңдеуіне қойып Кошидің скалярлық формуласы деп аталатын беттік кернеулер сыңарларыны мен ішкі кернеулер сыңарлары арасындағы байланыс теңдеуін аламыз, яғни (4.9)

немесе

(4.9) үш скалярлы теңдеулерге Кошидің векторлық формуласы деп аталатын мынандай бір векторлық теңдеу сәйкес келеді. , (4.10)

мұндағы (4.11)

(4.10) Коши формуласы бірлік вектор ге кернеу матрицасы ( ) көмегімен векторын сәйкес қойады. Осы матрица базисті бұрған кезде мынандай тензорлық заң бойынша түрленетін екінші ранглі тензорды құратындығын көрсетуге болады:

. (4.12)

Матрицаны көбейту ережесін еске түсіріп жоғарыдағы теңдеуді былай қайта жазуға болады: . (4.13)

Сонымен (4.13) формуласы әрбір вектор ге кернеу векторлары –ді сәйкес қойады. Айтылған кернеулер нормаліне ортогональды алаңдарда әсер етеді. Формуланы пайдаланғанда векторды кернеу матрицасына көбейту ережесін қолдану керек.

Оқулықтарда [1] келтірілген леммадан матрицасы тензор екендігі шығады, яғни

(4.14)

Осы тензор кернеу тензоры деп аталады.

Сонда көлбеген алаңдағы кернеу векторы Коши формуласы бойынша былай анықталады: . (4.15)

координатты проекциясы бар толық кернеуін (4.6) алаңына және алаңның нормалі ге проекциялауға болады (4.4 сурет). Бірінші проекция жанама кернеу деп аталады, ал екінші проекция нормальды кернеу деп аталады. Нормальды кернеудің модулі вектор –мен (4.7) бірлік нормальдің (4.11) скалярлық көбейтіндісі реттінде табылады, яғни . (4.16)

Кошидің скалярлық формуласын (4.9) қолданып нормальды кернеуді кернеу тензорының сыңарлары арқылы былай анықтауға мүмкіндік береді: . (4.17)

нормалі бар алаңдағы жанама кернеуі толық кернеуден нормальды кернеуді

( ) векторлық алумен былай анықталады: (4.18)

(4.9) және (4.17) формуларын қолданып жанама кернеудің модулін былай табамыз:

(4.19)

Сөйтіп нормалі бар кейбір бетінің маңында кернеу тензорының сыңарлары бойынша толық (4.9), нормальды (4.17) және жанама (4.19) кернеулерін анықтауға болады. Әрбір координатты алаңды ( ), берілген алаңға шексіз жақын кейбір жаңа координат жүйесіндегі алаң ретінде қарап жүргізелген зерттеулерді жалғастыруға болады. Осы кезде тұтас орта ішіндегі еркін еңкіш алаңының Коши формуласын аламыз.

4.4 – сурет. Көлбеген алаңдағы кернеу

Металдарды қысыммен өңдеген кезде жанасқан бетке қысу кернеуі әсер етеді. Таңбалар ережесі бойынша бұл жағдайда нормальдін кернеудің таңбасы теріс болады. Бірақта ылғида теріс таңбамен жұмыс істеу ыңғайсыз, сондықтан тұтас ортаның механикасында нормальдік қысым деген ұғым қолданылады. Осы нормальдік қысым элементарлы алаңға әсер етеді және металдарды қысқан кезде оң таңбалы болады.

Осы мөлшерді қолданып нормальдік кернеудің векторын мынандай түрде жазуға болады: (4.20)

мұндағы алаңның нормалінің бірлік векторы; – алаңдағы нормальдік қысым.

Жанама кернеудің векторын мынандай түрде көрсетуге болады:

(4.21)

мұндағы τ – алаңдағы жанама кернеу; – алаң жазықтығында жататын бірлік вектор.

Сонымен, элементарлы алаңға әсер ететін нормальдік қысым және нормальдік кернеу абсолюттік мөлшері бойынша тең, ал таңбасы бойынша қарама қарсы болады.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 4, бет 101 – 109); [2] (тарау 3, бет 77 – 101); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4] (тарау 2, бет 70 – 105).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 2, бет 21 – 30).

Бақылау сұрақтары:.

1. Немен ішкі күштік факторлар сырттық күштік факторлардан айырмашылықта болады?

2. Кернеу тензорының диагональдық сыңарларында қандай мағана бар?

3. Кернеу тензорының бүйірлік сыңарларында қандай мағана бар?

4. Көлбеген алаңдағы кернеулер кернеу тензорының сыңарларымен қалай байланысты?

5. (4.5) матрицасы тензор екендігін қалай дәлелдеуге болады?

№5 дәріс. Кернеу тензоры.

нормалі бар алаң кернеу тензорының басты бағыттарының біреуімен сәйкес келсін. Сол кезде толық кернеу нормалімен сәйкес келеді. Онда (4.9) скалярлық көбейтіндісі мынандай түрге келтірілінеді: (5.1)

және бұндай жағдайда бағыты басты бағыт және тензорының басты осі деп аталады. (5.1) скалярлық көбейтіндісін мынандай басқа түрге де келтіруге болады:

. (5.2)

формуласының көмегімен (5.1) қатнасына мынандай түрді беруге болады:

. (5.3)

Бұл формула әрбір бағытқа сәйкес келетін және төрт белгісізі бар үш теңдеу жүйесін құрады. Шешуге керекті осы жүйені ашып жазғанда, ол мынандай түрде алады:

(5.4)

Осыдан шешімін шығарып тастап мынаны аламыз: (5.5)

немесе . (5.6)

(5.6) теңдеуінің түбірі тензорының меншікті (басты) мәні деп аталады. (5.6) теңдеуінің түбірі мен коэффициенттері арасындағы қатнас белгілі. Сондықтан және мөлшелері координаттарды өзгерткен кезде өзгермейді.

Бір координат жүйесінен екіншісіне ауысқан кезде өздерінің мәнін сақтайтын тензор сыңарларының функциясын тензорлардың инварианттары деп атайды. Екінші ранг тензорларында бір-бірінен тәуелді емес мынандай үш инвариант бар: – бірінші сызықты инвариант; – екінші квадратты инвариант; – үшінші кубтық инвариант.

(5.6) теңдеуінің коэффициенттері келесі формуллар бойынша анықталады:

(5.7)

теңдігін жорамалдап басты кернеулердің мәнін келесі ретпен бөліп орналастырған дұрыс: . (5.8)

(5.4) теңдеуіндегі λ орнына басты кернеулердің біреуін қойған кезде i-інші басты кернеудің бағытын сипаттайтын үш косинустарға үш теңдеулер жүйесін аламыз, яғни . (5.9)

(5.9) теңдеуінде i көрсеткіші бойынша қосуды жүргізбейді.

Мына матрицаның

(5.10)

жол элементтері үшін төмендегі қатнас әділ: , (5.11)

ал бағана элементтері үшін мынандай қатнас дұрыс: . (5.12)

бірінші көрсеткіші i– інші басты кернеудің көрсеткішіне, ал екінші көрсеткіші осы базистің j– інші осіні сәйкес келеді.

Егер басты базистің бағыттаушы косинустары белгілі болса, онда кернеу тензорының сыңарларын өзгертетін (5.12) формула бойынша басты кернеулерді анықтауға болады, мысалы

Басты оське жатқызылған кернеу тензоры мынандай түрде жазылады:

. (5.13)

Сөйтіп басты координатты осьтерде, ортогональды элементарлы кубтың қабырғаларына тек нормальды кернеулер әсер ететін болады (5.1- сурет).

5.1 – сурет. Басты кернеулер

Кернеу девиаторы. Кернеу тензорын девиатор және шар тензорларының қосындысы түрінде былай көрсетуге болады:

(5.14)

мұндағы мөлшерін орташа кернеу деп атайды.

Сонымен девиатор сыңарларын былай анықтайды: . (5.15)

Кернеу девиаторының басты сыңарлары мынандай сипаттамалық теңдеуден анықталады: (5.16)

Осы теңдеу толық емес кубтың теңдеу болып саналады, яғни

(5.17)

Өйткені бірінші инварианты нөльге тең. Кернеу девиаторының қалған инварианттары мынаған тең:

(5.18)

Кернеу девиаторының екінші инварианты жанама кернеудің қарқындылығы деп аталатын мынандай физикалық мөлшермен байланысты:

(5.19)

Октаэдрлік кернеу. Октаэдрлік алаң деп басты кернеулер бағыттарымен тең бұрыштар құратын алаңды айтады (5.2 сурет). Октаэдрлік алаңдардың нормальдарында бағыттаушы косинустар бар. Басты осьтердегі октаэдрлік алаңдардың нормальдері мынаған тең: . (5.20)

Осындай алаңдағы толық кернеу – нің векторы мынаған тең:

. (5.21)

Октаэдрлік алаңдағы толық кернеудің нормальды және жанамалы сыңарлары мынаған тең: ; (5.22)

. (5.23)

5.2 – сурет. Октаэдрлік алаңдағы кернеу

Егер басты жанама кернеулердің мәндерін ескеретін болсақ (төмен жаққа қараңыз), онда жанама сыңарды былай анықтайтын боламыз: . (5.24)

Сөйтіп октаэдрлік жанама кернеу түбір астындағы басты нормальды кернеулердің айырмасы квадраттары қосындыларының үштен біріне немесе түбір астындағы басты жанама кернеулер квадраттары қосындыларының үштен екісіне тең.

Басты нормальды кернеулермен бейнеленген кернеу тензорының бірінші инвариантының (5.7) квадратын былай алайық:

(5.25)

және тағы да басты кернеулермен бейнеленген екінші инварианты (5.26) былай жазайық:

. (5.26)

Октаэдрлік жанама кернеуді мынандай теңдеумен де анықтауға болады:

немесе жақшаларды ашып мынаны аламыз:

. (5.27)

(5.25) және (5.26) теңдеулерін (5.27) теңдеуімен салыстырып мынаны анықтауға болады: . (5.28)

Осыдан кернеу тензорының бірінші және екінші инвариантары үшін қолданылатын формулаларды (5.7) және кездейсоқ (басты емес) ортогональды алаң бойынша әсер ететін кернеулер сыңарларын пайдаланып октаэдрлік жанама кернеуді анықтауға мүмкіндік аламыз, яғни .

Осы теңдеуді түрлендіргеннен кейін мынаны аламыз:

. (5.29)

(5.7) формуласын қолданып кернеу девиаторының (5.14) екінші инвариантын былай анқтайық:

немесе орташа кернеу анықтайтын формуланы ескеріп мынаны табамыз:

(5.30)

Осыдан, октаэдрлік жанама кернеудің екінші дәрежесі таңбасы бойынша кері етіп алынған кернеу девиаторының екінші инвариантының үштен екісіне тең екендігі анықталады, яғни немесе (5.31)

(5.32)

Нүктедегі октаэдрлік жанама кернеу мөлшері бойынша сол нүктедегі ең үлкен жанама кернеуге жақын болады, яғни мынандай аралықта болады .

Жанама кернеу қарқындылығы Т–ның мөлшері кернеу күйінің түріне байланысты (кернеу тензорының сыңарлары арасындағы қатнасқа байланысты) мынандай шекте өзгереді:

мұндағы – абсолюттік мөлшері бойынша ең үлкен басты жанама кернеу.

Жанама кернеудің қарқындылығынан кернеу қарқындылығын немесе қорытындылған кернеу –ді ажырата білу керек. Кернеу қарқындылығы басты кернеулермен былай анықталады: . (5.33)

Жанама кернеудің қарқындылығы Т сияқты кернеу қарқындылығының мөлшері скалярлық мөлшер болып саналады.

Кернеу қарқындылығының мөлшері кернеу күйінің түріне байланысты мынандай шекте өзгереді: ,

мұндағы және – алгебралық ең үлкен және ең кіші басты нормальді кернеулер.

Үш басты кернеудің екеуі нөльге тең болатын сызықтық кернеу күйі үшін (сызықтық созу немесе қысу) кернеу қарқындылығы мөлшері бойынша басты нормальды кернеумен (созатын немесе қысатын) дәл келетіндігін оңай анықтауға болады.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 4, бет 101 – 109); [2] (тарау 3, бет 77 – 101); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4] (тарау 2, бет 70 – 105).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 2, бет 21 – 30).

Бақылау сұрақтары:

1. Кернеу тензорының басты осьтеріне қырлары параллельді элементарлы кубтың қабырғаларына қандай кернеулер әсер етеді?

2. Орташа кернеу деп нені айтады?

3. Жанама кернеудің қарқындылығы деп нені айтады?

4. Октаэдрлік кернеулер, алаңдар деп нені айтады?

5. Октаэдрлік алаңда қандай кернеулер әсер етеді?

№6 дәріс. Ең үлкен жанама кернеу. Мора кернеуінің диаграммасы

сыңарлары бар векторды нормаліне проекциялап нормальды қысым үшін мынандай формуланы аламыз: .

Енді (4.9) формуланы қолданып мынаны аламыз: (6.1)

немесе .

Жанама кернеу мынандай теңдеуден анықталады: . (6.2)

Кернеулер зерттелетін нүктенің айналасында координатты осьтің бағыты ретінде кернеу тензорының басты бағытын қабылдайық.

Көрсетілген нүкте арқылы өтетін кез келген көлбеген алаңдағы нормальдік қысым, толық пен жанама кернеулер мынандай формулармен анықталады:

(6.3)

(6.4)

(6.5).

Енді (6.5) теңдеуінен байланысын пайдаланып косинустардың біреуін, мысалы шығарып тастайық. Осыдан кейін жанама кернеу экстремумдық мәнді алатын және косинустарын анықтаймыз. Ол үшін формуласын (6.5) теңдеуінен қойып мынаны аламыз:

Экстремумды табу үшін осы теңдіктің бойынша туындысын тауып, оны нөльге теңестіреміз, яғни

Жақшаның сыртына шығарып және мөлшеріне қысқартқан кезімізде мына теңдікті табамыз:

Таңбаларды ауыстырып, жақшалардың сыртына және шығарып жіберіп, содан соң екіге бөлген кезде мынандай теңдікті аламыз:

(6.6)

Осындай жолмен теңдеудің бойынша туындысын тауып, оны нөльге теңестірсек мынандай формуланы аламыз:

(6.7)