Вокруг одиночной горной выработки

Физические процессы

Лекция 12.

4 часа.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ ГЕОМЕХАНИКИ.

Математические модели объектов представляют собой математическое описание условий нагружения, конфигурации, взаимного положения и параметров горных выработок и других элементов систем разработок. Здесь также к настоящему времени накоплен достаточный опыт применения различных моделей с той или иной степенью детальности и адекватности реальным условиям описывающих конкретные горнотехнические ситуации и условия деформирования и разрушения породных конструкций, крепей выработок или каких-либо инженерных сооружений.

Определение напряжённо-деформированного состояния пород

вокруг одиночной горной выработки

В задачах геомеханики можно выделить ряд типовых схем, которые, являются как бы классическими и которые можно применять к бесконечному множеству реальных ситуаций.

Подобной типовой задачей прежде всего является определение напряжённо-деформированного состояния пород вокруг одиночной горной выработки в массиве горных пород.

Проведение выработок с физической точки зрения можно представить как образование полости в массиве горных пород, обладающем определёнными свойствами и начальным (или естественным) полем напряжений. При этом вокруг выработки формируется новое поле напряжений и смещений, которое можно представить как сумму начального поля напряжений и смещений нетронутого массива (т.е. до проведения выработки) и дополнительного поля напряжений и смещений, являющегося результатом выемки породы при проведении горных работ.

В случае одиночной протяжённой выработки, у которой длина во много раз превышает два других размера (высоту и ширину), объёмная задача по вычислению компонент напряжений и перемещений в массиве пород на основе упругой изотропной и однородной модели может быть сведена к плоской, т. е. к рассмотрению полей напряжений и перемещений лишь вокруг поперечного сечения выработки.

Задачи подобного рода обычно сводят к расчету напряжений вокруг сечения выработки в невесомом массиве с внешними, удаленными от центра выработки, границами, нагруженными напряжениями, действующими в нетронутом массиве в точке, которая соответствует центру выработки (рис. 12.1а).

Такая расчетная схема отличается простотой и наглядностью и дает возможность достаточно точно оценить концентрацию напряжений в окрестности горной выработки. Однако для определения значений смещений необходимо из полного поля смещений, соответствующего полному полю напряжений, вычесть начальное поле смещений, соответствующее начальному напряженному состоянию массива.

Рис. 12.1. Расчетные схемы для определения напряженно-деформиро-ванного состояния массива пород вокруг одиночных выработок.

а - для определения поля напряжений в окрестности выработки; б - для вычисления компонент смещений.

В случае использования упругой модели массива значения смещений могут быть определены более простым способом, используя расчетную схему для невесомого породного массива с горной выработкой, контур которой нагружен напряжениями, численно равными напряжениям нетронутого массива в точке, соответствующей центру выработки, и обратными по знаку (рис. 12.1б).

Для получения указанных решений необходимо с учетом уравнений связи между напряжениями и деформациями совместно проинтегрировать уравнения равновесия и уравнение неразрывности деформаций, в котором компоненты деформаций выражены напряжениями.

Указанные уравнения представляют собой однородную систему и вследствие этого её общее решение содержит одну функцию F(x,у)от независимых переменных хи уи имеет следующий простой вид:

¶ ²F¶ ²F¶ ²F

s_х = -------;s_y = --------;t_хy = - ------------- (12.1)

¶ y²¶ x²¶ x ¶ y

При подстановке значений s_х и s_y в выражение (12.1) получаем уравнение четвертого порядка в частных производных (бигармоническое уравнение):

¶ ⁴F¶ ⁴F¶ ⁴F

------- + 2------------ + ---------- = 0(12.2)

¶ x⁴¶ x² ¶ y²¶ y²

К бигармоническому уравнению (12.2) необходимо добавить граничные условия, т. е. условия нагрузки на контуре рассматриваемого отверстия, тоже выраженные через функцию F(x,у).

Таким образом, плоскую задачу теории упругости при заданных нагрузках можно с математической точки зрения трактовать как необходимость определения функции F(x,у) из уравнения (12.2). Эту функцию называют функцией напряжения (функцией Эри).

Необходимо отметить, что обычно при теоретических определениях напряженно-деформированного состояния в условиях упругого деформирования пород, в первую очередь, вычисляют действующие напряжения, а затем уже находят перемещения и деформации.

При экспериментальных же определениях, в противоположность этому, обычно измеряют перемещения или деформации, а затем по этим данным вычисляют действующие напряжения.

Указанное упругое решение о напряжённо-деформированном состоянии пород вокруг одиночной выработки принимают в качестве основного, первого приближения (исходных значений) при определении напряженного состояния пород вокруг выработок с учётом более сложных моделей массива, в частности, в условиях неупругого деформирования пород. При этом особенности деформирования массива учитывают путем введения дополнительных условий.

Но если упругие значения напряжений имеют и самостоятельное значение, поскольку являются верхним пределом возможных значений напряжений, то расчетные упругие перемещения и и v находят ограниченное применение при решении практических вопросов геомеханики. Обычно их используют лишь в качестве исходных значений для расчета перемещений и деформаций при неупругом деформировании пород.