Примеры решения задач по системам эконометрических уравнений

Задача 1. Имеется следующая структурная модель:

Соответствующая ей приведенная форма модели имеет вид:

Определить, если это возможно, неизвестные параметры структурной модели.

Решение. Сначала определим идентифицируемость структурной модели. Ограничимся для простоты применением счетного правила. Приведем кратко информацию об этом правиле.

Обозначим Н – число эндогенных переменных в i- ом уравнении системы, D – число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение. Тогда условие идентифицируемости уравнения может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1 = Н – уравнение идентифицируемо;

D+1 < Н – уравнение неидентифицируемо;

D+1 > Н – уравнение сверхидентифицируемо.

Первое и третье уравнения структурной модели имеют H = 2, D = 1. В первом уравнении две эндогенные переменные – y₁, y₂, в третьем тоже две – y₂, y₃; в обоих уравнениях не хватает по одной экзогенной переменной: в первом отсутствует х₃, в третьем – х₂. В этих уравнениях выполняется равенство D + 1 = H, и они идентифицируемы. Во втором уравнении присутствуют все три эндогенные переменные (H=3), а отсутствуют две экзогенные – х₁ и х₃ (D=2). Здесь также выполняется равенство D + 1 = H, и второе уравнение также идентифицируемо. Поскольку все три уравнения структурной модели идентифицируемы, система также идентифицируема.

Для идентифицируемых систем методом оценки структурных параметров является косвенный МНК. Он заключается в том, что уравнения приведенной формы модели (ПФМ), полученные обычным МНК как уравнения множественной регрессии, с помощью алгебраических преобразований превращаются в уравнения структурной формы модели (СФМ). Здесь, как видим, МНК применяется только один раз – для оценки коэффициентов приведенной формы.

Начнем с построения первого уравнения СФМ. Из всех уравнений ПФМ к нему ближе всех по структуре первое уравнение: в обоих уравнениях слева стоит y₁, а справа стоят х₁ и х₂. Однако они отличаются тем, что в первом уравнении ПФМ стоит х₃, а в первом уравнении СФМ стоит y₂. Поэтому, чтобы получить первое уравнение СФМ из первого уравнения ПФМ, надо в последнем заменить х₃ на выражение, в котором появилась бы y₂. Эту замену делаем с помощью второго уравнения ПФМ:

Подставим в первое уравнение ПФМ, получаем после элементарных преобразований:

,

или

.

Это и есть первое уравнение СФМ.

Для получения третьего уравнения СФМ действуем аналогично: в третьем уравнении ПФМ заменяем х₂ так, чтобы в результате замены появилась y₂. такую замену снова делаем через второе уравнение ПФМ:

.

Подставим в третье уравнение ПФМ, получаем:

,

или

.

Это и есть третье уравнение СФМ.

Для получения второго уравнения СФМ требуются более сложные преобразования. Это связано с тем, что из второго уравнения ПФМ, как наиболее похожего на второе уравнение СФМ, надо исключить сразу две переменные – х₁ и х₃, чтобы при этом появились y₁ и y₃.. Последовательное исключение здесь не годится, их надо исключать одновременно. Для этого запишем первое и третье уравнения ПФМ как систему относительно исключаемых переменных:

Решаем эту систему любым способом, например, например, методом определителей:

Подставим полученные решения во второе уравнение ПФМ, получаем второе уравнение СФМ:

или

.

Теперь можем полностью записать структурную модель:

■