Непосредственное интегрирование

Пример: Непосредственное интегрирование - student2.ru .

2. Замена переменных.

Пусть задан интеграл Непосредственное интегрирование - student2.ru , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

1) j(a) = а, j(b) = b;

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b];

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то Непосредственное интегрирование - student2.ru .

Тогда Непосредственное интегрирование - student2.ru

Пример:

Непосредственное интегрирование - student2.ru

3. Интегрирование по частям .

Формула имеет вид: Непосредственное интегрирование - student2.ru .

Пример: Непосредственное интегрирование - student2.ru = Непосредственное интегрирование - student2.ru = Непосредственное интегрирование - student2.ru =

Непосредственное интегрирование - student2.ru = Непосредственное интегрирование - student2.ru + Непосредственное интегрирование - student2.ru =0.

Приближенное вычисление определенного

Интеграла

Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает тогда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значения интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

Формула прямоугольников

Непосредственное интегрирование - student2.ru Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей, длины которых равны Непосредственное интегрирование - student2.ru , где x1, x2, … xn – точки разбиения. Тогда можно записать, что Непосредственное интегрирование - student2.ru .

При таком разбиении имеем прямоугольники, площадь которых равна Непосредственное интегрирование - student2.ru , где Непосредственное интегрирование - student2.ru , а Непосредственное интегрирование - student2.ru – некоторая точка на отрезке, которая в частности выбирается середина отрезка Непосредственное интегрирование - student2.ru .

Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение определенного интеграла и называемое общей формулой прямоугольников:

Непосредственное интегрирование - student2.ru .

Формула трапеций

Непосредственное интегрирование - student2.ru Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную. Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Замечание: чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

Непосредственное интегрирование - student2.ru ;

Непосредственное интегрирование - student2.ru .

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Непосредственное интегрирование - student2.ru

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)

Непосредственное интегрирование - student2.ru Данный метод основан на разбиении дуги линии f(x), соответствующую [a, b], дугами парабол, что позволяет получить более точную формулу приближенного вычисления. Для этого разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси OY и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

y
x
Непосредственное интегрирование - student2.ru
x0
x2
x1
Непосредственное интегрирование - student2.ru Непосредственное интегрирование - student2.ru Непосредственное интегрирование - student2.ru Непосредственное интегрирование - student2.ru Непосредственное интегрирование - student2.ru Непосредственное интегрирование - student2.ru Уравнения этих парабол имеют вид

Ax2 + Bx + C,

где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

Для определения А, В, С имеется система уравнений:

Непосредственное интегрирование - student2.ru Непосредственное интегрирование - student2.ru (1)

Непосредственное интегрирование - student2.ru Если обозначим Непосредственное интегрирование - student2.ru и примем х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то Непосредственное интегрирование - student2.ru (2)

Выразается S через величины (1): Непосредственное интегрирование - student2.ru Непосредственное интегрирование - student2.ru

C учетом этого: Непосредственное интегрирование - student2.ru .

Отсюда выражение (2) примет вид: Непосредственное интегрирование - student2.ru

Тогда для каждой пары отрезков имеется:

Непосредственное интегрирование - student2.ru . . .

Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой Симпсона: Непосредственное интегрирование - student2.ru

Пример:

Вычислим приближенное значение определенного интеграла Непосредственное интегрирование - student2.ru с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

Непосредственное интегрирование - student2.ru

m
x -2 -1
f(x) 2.828 3.873 4.123 4.899 6.557 8.944 11.874 15.232 18.947 22.978

Непосредственное интегрирование - student2.ru

Точное значение этого интеграла: 91.173.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Непосредственное интегрирование - student2.ru

Несобственные интегралы

Наши рекомендации