БИЛЕТ №18
Волновое уравнение для электромагнитной волны. Рассмотрим нейтральную непроводящую среду с проницаемостями e и m, где и
(54) . Поскольку в данном случае плотности токов и зарядов равны нулю (r=0, j=0), уравнения Максвелла в дифференциальной форме будут иметь вид
(I)
(II)
(III)
(IV).
Подставим в уравнение (III) и продифференцируем его по времени:
,
где мы использовали правило преобразования двойного векторного произведения («bac-cab»):
.
Из (IV) уравнения Максвелла и равенства (54) следует, что
, и в результате остается волновое уравнение для вектора
(и для вектора
, если по тому же рецепту продифференцировать уравнение (I) и т. д…)
, (55)
. (56)
Множитель при второй производной по времени определяет скорость распространения волны
, (57)
что для вакуума (e=1, =1) дает удивительный результат: скорость волны равна скорости света
. (58)
Таким образом, из уравнений Максвелла следует, что свет является электромагнитной волной. И наоборот, переменное электромагнитное поле в вакууме распространяется со скоростью света, независимо от своей частоты! Рассмотрим простейшую электромагнитную волну.
Плоская электромагнитная волна. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси х. Поскольку волновые поверхности (плоскости) будут в этом случае перпендикулярны оси х, то векторы и
, а Þ и их проекции на оси y и z не будут зависеть от y и z (иначе волна не могла бы распространяться строго в направлении оси х). Следовательно, в уравнениях Максвелла (I-IV) производные по y и z будут равны нулю и уравнения упрощаются. Чтобы это показать, распишем уравнения Максвелла (rot - с помощью определителей), оставив во всех уравнениях только векторы
и
, что легко сделать с учетом (54).
(I)
(III)
(IV)
(II)
Распишем векторные уравнения (I) и (III) в проекциях, и то, что осталось от уравнений (IV) и (II) (должно быть всего 8 скалярных уравнений):
, Þ
; (I)
Хочется в этом месте Вас подбодрить, но ничего утешительного сказать не могу,- идём дальше! Будьте внимательны! По разные стороны от знака (=) проекции на разные оси!
, Þ
; (III)
Ничего, что в верхних уравнениях (ох:...) в рамках опущены не равные нулю множители?
(IV)
(II).
Из проекций на ох в (I) и (III) следует, что Нх и Ех не зависят от времени, а из (IV) и (II) - что эти проекции не зависят также и от х. Следовательно, Нх и Ех могут быть только постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. Они не будут распространяться и поэтому не будут нас в дальнейшем интересовать. Во всяком случае, переменные Нх и Ех равны нулю. Следовательно, отличными от нуля переменными компонентами векторов и
остаются только их проекции на оси y и z, которые перпендикулярны направлению распространения, следовательно, электромагнитная волна является поперечной. Кроме, того, векторы
и
ортогональны между собой. Действительно, выпишем рядом третье уравнение из рамки (I) и второе из (III):
;
(59)
Из рассмотрения этой пары видно, что изменение во времени поля вдоль оси z порождает электрическое поле вдоль оси y и наоборот: изменение электрического поля вдоль оси y порождает магнитное поле вдоль оси z. При этом не возникает ни поле Ez, ни поле Hy. А это и значит, что ^
. Векторы
и
в электромагнитной волне взаимно ортогональны! Из полученной пары (59) нетрудно получить волновое уравнение, например, продифференцировать первое из них по координате, а второе по времени. После чего будет легко увидеть, что вторые производные от Ey по времени и координате связаны волновым уравнением
, (60)
и аналогично можно получить волновое уравнение для Hz
. (61)
Ранее из уравнений Максвелла были получены волновые уравнения (55,56) в более общем случае, что позволяет уравнения (60,61) написать для любой проекции. Но тогда мы потеряли бы информацию о геометрии волны.
Как связаны мгновенные значения и
? Пусть Ey = Ey (t-x/с), Hz= Hz (t-x/с). Обозначим фазу φ≡(t-x/с) и вычислим производные: от Ey по координате х; от Hz по времени:
;
.
Подставим эти производные в первое из уравнений (59)
,Þ
, где константа обусловлена наличием постоянной компоненты полей. Нас интересует только переменное поле, для которого положим const=0, Þ
. (62)
![]() | ![]() | ||
Это означает, что векторы
![БИЛЕТ №18 БИЛЕТ №18 - student2.ru](/images/matematika/yelektricheskoe-pole-v-veshhestve-371861-2.gif)
![БИЛЕТ №18 БИЛЕТ №18 - student2.ru](/images/matematika/bilet-n18-396668-13.gif)
![БИЛЕТ №18 БИЛЕТ №18 - student2.ru](/images/matematika/yelektricheskoe-pole-v-veshhestve-371861-2.gif)
![БИЛЕТ №18 БИЛЕТ №18 - student2.ru](/images/matematika/bilet-n18-396668-13.gif)
![БИЛЕТ №18 БИЛЕТ №18 - student2.ru](/images/matematika/yelektricheskoe-pole-v-veshhestve-371861-2.gif)
![БИЛЕТ №18 БИЛЕТ №18 - student2.ru](/images/matematika/bilet-n18-396668-13.gif)
Е=Em cos(wt-kx); H=Hm cos(wt-kx). (63)
NB!Обратите внимание! На рис.14 изображена электромагнитная волна: векторы и
в каждой точке оси х в некоторый момент времени! Через время, равное половине периода колебаний картина изменится (рис.15). Вообще картина непрерывно изменяется не только в пространстве, но и во времени!
Полезный совет: обратите внимание сейчас, что изображенные на рис. 14 и 15 мгновенные фотографии волны позволяют наглядно увидеть, что вектор в процессе распространения волны все время колеблется в плоскости xy! Поэтому данная волна является плоско-поляризованной! Обязательно вернитесь к этим картинкам позже, когда мы будем изучать поляризованный свет.