Прогнозирование развития транспортных средств леспромхоза

Одной из особенностей работы лесотранспорта является постоянно возрастающее расстояние вывозки древесины, связанное с постоянным удалением мест рубок от нижнего склада. Для обеспечения работы леспромхоза в этих условиях необходимо развивать транспортные средства.

Рост грузовой работы леспромхоза можно представить уравнением прямой линии

, (3.1)

где R₀ - величина грузовой работы в начале рассматриваемого периода; r- прирост грузовой работы за единицу времени (год); t – число лет от начала рассматриваемого периода.

Увеличение провозной способности лесовозной дороги возможно осуществлять различными способами: приобретение дополнительных транспортных средств; переход на новые, более мощные транспортные средства; увеличение скоростей движения транспортных средств за счет реконструкции дороги и др. Каждый из этих способов требует определенных капитальных вложений. Затраты K₁ какого-либо способа могут увеличить грузовую работу до величины R₁, затем потребуется какой-либо другой способ, который потребует капитальных вложений K₂ , и т.д.

Условно будем считать, что величина капитальных вложений K пропорциональна приросту грузовой работы, а прирост грузовой работы пропорционален сроку эксплуатации дороги: .

Величину капитальных вложений можно описать формулой

, (3.2)

где - коэффициент пропорциональности между приростом грузовой работы и капитальными затратами.

Предположим, что на лесовозной дороге можно использовать три способа увеличения провозной способности в определенной последовательности на протяжении T лет. Каждый из этих способов позволяет увеличить провозную способность на величину, зависящую от величины капитальных затрат (рис. 3.1).

Необходимо определить размеры и сроки вложения капитальных затрат, чтобы общие расходы за весь период были минимальными. В расчетах необходимо учесть экономический эффект от отдаленности капитальных вложений, приводя их к начальному году периода T.

где K₁ , K₂, K₃ – капитальные затраты соответственно 1,2,3 способов увеличения провозной способности дороги;

-коэффициенты пропорциональности между приростом грузовой работы и капитальными затратами при соответствующих способах; t₁,t₂,t₃ – время (в годах) от начального периода (t₀) до введения соответствующего (1,2,3) способа увеличения провозной способности дороги; T – рассматриваемый период в годах; E – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений.

Провозная способность дороги увеличивается в три этапа. Требуется определить такие сроки использования капитальных вложений на каждом этапе, при которых общие приведенные затраты будут минимальными

Приведенные капитальные затраты составят

(3.3)

(3.4)

, (3.5)

(3.6)

При этом необходимо учесть ограничения:

(3.7)

(3.8)

где R и R – максимальные уровни провозной способности лесовозной дороги, которых можно добиться соответственно первым и вторым способом ее увеличения.

Срок t₁ определяется существующей провозной способностью Rн в начале рассматриваемого периода (см. рис. 3.1)

Rн=R₀+rt₁ или , (3.9)

Уровень требуемой провозной способности в конце третьего периода также определяется однозначно по формуле

R₃=R₀+rT . (3.10)

Сроками капитальных вложений t₂ и t₃ можно варьировать, изменяя тем самым уровни провозной способности R₁ и R₂ первом и втором этапах. Следовательно, необходимо определить сроки t₂ и t₃, которые минимизируют общие приведенные капитальные затраты.

Задача решается методом динамического программирования в два этапа.

Первый этап оптимизации. Определяется значение t₃ для всех возможных значений t₂, которые обращают в минимум общие приведенные затраты на двух последних этапах E₂+E₃. Для этого исследуем на минимум функцию E₂+E₃ по аргументу t₃.

. (3.11)

Продифференцируем эту функцию и приравняем нулю первую производную

. (3.12)

После преобразований получим

. (3.13)

Представим это уравнение в следующем виде

, (3.14)

где .

Это уравнение типа

. (3.15)

Решением уравнения (3.15) является общая абсцисса точки пересечения графиков двух функций (см. рис. 3.2) и или в нашем случае и .

Решение может быть получено графически (рис.3.3). Для каждого возможного значения определяются соответствующие значения , которые минимизируют суммарные приведенные затраты на втором и третьем этапах увеличения провозной способности лесовозной дороги.

y y2=c-b*x y y=c-b*t₃ y=a^t₃

y1=a^x

t₃

Рис. 3.2. Графическое Рис. 3.3 Графическое

решение уравнения определение значения t₃

y=a^х+bx-c

Второй этап оптимизации. Определяется значение в зависимости от значения , обращающее в минимум общие приведенные затраты на всех трех этапах.

Если бы в результате первого этапа оптимизации была установлена функциональная зависимость , то ее можно было бы подставить в выражение (3.6) и исследовать выражение (3.6) на минимум. Но так как зависимость не выявлена, а установлены попарно конкретные значения и , подставим их поочередно в выражение (3.6). Значения и , обращающие в минимум выражение (3.6), и определяют оптимальный вариант решения задачи.