Задача о производстве красок

Фабрика выпускает два вида красок: для внутренних работ (В) и наружных работ (Н).

Для производства красок используются два исходных продукта Р1 и Р2. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов, расходы на 1 т соответствующих красок и оптовые цены одной тонны приведены в табл. 54.

Таблица 54

Исходный продукт	Расход исходных продуктов (в тоннах) на тонну краски	Максимально возможный запас, в тоннах
Краска В	Краска Н
Р1
Р2
Оптовая цена за одну тонну	2000 руб.	3000 руб.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску Н никогда не превышает спроса на краску В более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску Н никогда не превышает 2 т в сутки.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение включает три этапа, описанные в пп. 3.2.2 - 3.2.6.

Построение математической модели

1. Определение целевой функции

Обозначим Х_В – суточный объем производства краски В;

Х_Н – суточный объем производства краски Н.

Целевой функцией будет суммарная суточная прибыль от производства красок:

Z = 2000 · Х_В + 3000 ·Х_Н (25)

2. Определение ограничений на переменные

На переменные Х_В и Х_Н накладывается три вида ограничений.

а) Ограничение по физическому смыслу задачи – объём производства красок не может быть отрицательным. Следовательно,

(26)

б) Ограничение по ресурсам. Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта. Таким образом,

(27)

в) Ограничения на величину спроса краски имеют вид:

(28)

Итак, целью фабрики является определение среди множества допустимых значений Х_Н и Х_Втаких, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (25) при выполнении ограничений (26) – (28).

Построение начального плана решения

Создадим электронную таблицу для реализации решения (табл. 55 – ЭТ в режиме показа формул, табл. 56 – ЭТ в режиме показа вычислений). В ячейках А3:В4 размещен начальный план выпуска красок. Поскольку сразу определить оптимальный план выпуска не удастся, считаем, что начальные объёмы производства красок равны нулю

Таблица 55 Таблица 56

	A	B
	Оптимизация производства красок
	Переменные
	Х1	Х2
	Целевая функция
	=3000*А4+2000*В4
	Ограничения
	Левая часть	Правая часть
	=А4+2*B4
	=2*А4+B4
	=A4-B4
	=A4

	A	B
	Оптимизация производства красок
	Переменные
	Х1	Х2
	Целевая функция
	Ограничения
	Левая часть	Правая часть

Строки 5 и 6 отведены для вычисления целевой функции.

В ячейках А9:А12 вычисляются левые части ограничений (26) – (28) для текущего объёма производства красок, а в ячейках В9:В12 находятся правые части этих ограничений.

Оптимизация плана решения

1) Запускаем средство Поиск решения (Сервис – Поиск решения).

2) Установим в окне Поиск решенияпараметры, показанные на рис. 15

3) Щелкнем по кнопке Выполнить. Результат приведен в табл. 57.

Excel Microsoft Office

OpenOffice.org Calc

Рис. 15

Таблица 57

	A	B
	Оптимизация производства красок
	Переменные
	Х1	Х2
	3,33333333	1,33333333
	Целевая функция
	12666,66667
	Ограничения
	Левая часть	Правая часть
	-2
	1,3333333