Примеры. 54. Найти ротор векторного поля

54. Найти ротор векторного поля .

Решение. = = = = = =0, то

Ответ:

55. Найти rot (grad u), если u=x²+ y²+ z²

Решение. Поскольку grad u = 2x² + 2y² +2z² , то rot (grad u)=

Ответ:

56. Найти ротор поля скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью .

Решение. Как известно, скорость твердого тела определяется по формуле

Отсюда находим .

Таким образом, , характеризуя "вращательную компоненту" поля скоростей, равен удвоенной скорости вращения.

57. Доказать, что завихренность поля достигает наибольшего значения в направлении ротора.

Решение. Завихренность поля в направлении равна проекции ротора на это направление, т.е. .Отсюда видно, что поле наибольшую завихренность имеет в случае, когда =1, а это означает, что направление нормали совпадает с направлением , причем наибольшая завихренность равна .

58. Вычислить ротор векторного поля: = y² - x² +z² .

Решение .

Ответ: .